/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Na dowodzenie

Zadanie nr 8582365

Wykaż, że jeżeli liczby b, c, 2b− a są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to liczby ab , b2, c2 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli trzy liczby tworzą ciąg geometryczny to kwadrat środkowej musi być równy iloczynowi liczb sąsiednich, czyli

2 c = b(2b − a) c2 = 2b2 − ab c2 + ab = 2b2 2 c-+--ab = b2. 2

Otrzymana równość oznacza, że liczba 2 b jest średnią arytmetyczną liczb ab i c2 , co dowodzi, że ciąg (ab,b2,c2) jest arytmetyczny.

Wersja PDF