Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1047582

Dany jest rosnący ciąg geometryczny  2 (a,aq,aq ) , którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o 4, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz aq tego ciągu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Wiemy, że ciąg  2 (a,aq,aq ) jest rosnący, więc jego największym wyrazem jest aq2 . W takim razie ciąg (a,aq,aq 2 − 4) jest arytmetyczny i mamy

 2 aq = a+--aq-−--4- / ⋅2 2 4 = a + aq 2 − 2aq = a(1 + q2 − 2q) = a(1 − q)2 / : (1− q)2 a = ---4----. (1− q)2

Z założenia a i q są liczbami całkowitymi, więc  2 (q− 1) jest kwadratem liczby całkowitej dzielącym 4. Zatem (q − 1)2 = 1 lub (q− 1)2 = 4 . Pierwsza możliwość odpada, bo z założenia q jest liczbą nieparzystą. Zatem q − 1 = ± 2 , czyli q = −1 lub q = 3 . Tylko w drugim przypadku otrzymujemy ciąg rosnący, więc q = 3 i

 4 a = (1−--3)2 = 1.

Stąd aq = 3 .  
Odpowiedź: aq = 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!