Zadanie nr 2040921
Trzy różne liczby całkowite tworzą ciąg geometryczny o ilorazie będącym ujemną liczbą całkowitą. Jeżeli najmniejszą z tych liczb zwiększymy o 16, to liczby te (w tej samej kolejności) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.
Rozwiązanie
Dane liczby możemy zapisać w postaci: . Jest jednak mały kłopot, bo nie wiemy, która z tych liczb jest najmniejsza. Na szczęście wiemy, że
, więc są dwie możliwości: jeżeli
, to najmniejsza jest druga liczba, a jeżeli
, to najmniejsza jest trzecia liczba (bo
).
Zajmijmy się najpierw przypadkiem, gdy . Wtedy wiemy, że ciąg
jest arytmetyczny, czyli
![2 2(a1q+ 16) = a1 + a1q 32 = a (q2 − 2q + 1) = a (q − 1)2 1 1 a = ---32--- . 1 (q − 1)2](https://img.zadania.info/zad/2040921/HzadR7x.gif)
Z założenia i
są liczbami całkowitymi, więc
jest kwadratem liczby całkowitej dzielącym 32. Zatem
,
lub
, czyli
![q ∈ {0,2,− 1,3,− 3,5} .](https://img.zadania.info/zad/2040921/HzadR14x.gif)
Interesują nas jednak tylko ujemne wartości , więc
lub
. Wtedy
![a = ---32--- = 8 i a = ---32--- = 2 1 (q− 1)2 1 (q − 1)2](https://img.zadania.info/zad/2040921/HzadR18x.gif)
odpowiednio. Otrzymuje więc dwa ciągi:
![(8,− 8,8), (2,− 6,18).](https://img.zadania.info/zad/2040921/HzadR19x.gif)
Tylko drugi z tych ciągów spełnia założenia zadania (wyrazy mają być różne).
Zajmijmy się teraz drugim przypadkiem, gdy . Wtedy arytmetyczny jest ciąg
, więc
![2a q = a + a q 2 + 16 1 1 1 − 16 = a1(q2 − 2q + 1) = a1(q− 1)2 − 16 a1 = --------. (q− 1)2](https://img.zadania.info/zad/2040921/HzadR22x.gif)
Tak jak poprzednio, wnioskujemy stąd, że ,
lub
, czyli
![q ∈ {0,2,− 1,3,− 3,5} .](https://img.zadania.info/zad/2040921/HzadR26x.gif)
Tak jak poprzednio mamy stąd lub
i
![--−-16-- --−-16-- a 1 = (q− 1)2 = − 4 i a1 = (q − 1)2 = − 1](https://img.zadania.info/zad/2040921/HzadR29x.gif)
Otrzymujemy więc w tym przypadku ciągi
![(− 4,4,− 4), (− 1,3 ,−9 ).](https://img.zadania.info/zad/2040921/HzadR30x.gif)
Tylko drugi z nich spełnia warunki zadania.
Odpowiedź: lub