Zadanie nr 2332285
Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Ich suma wynosi 18. Jeśli największą z tych liczb zwiększymy o 8, a pozostałych nie zmienimy, to uzyskamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Wyznacz te liczby.
Rozwiązanie
Sposób I
Wiemy, że szukane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, czyli są postaci: . W dodatku znamy ich sumę
![18 = a− r+ a + a + r = 3a ⇒ a = 6.](https://img.zadania.info/zad/2332285/HzadR1x.png)
Zatem szukane liczby są postaci . Nie wiemy, która z tych liczb jest największa, więc musimy rozważyć dwa przypadki.
Jeżeli jest największą liczbą, to wiemy, że
są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli
![2 36 = (6− r)(1 4+ r) = 84− 8r− r r2 + 8r− 48 = 0 / : 2 1-r2 + 4r − 24 = 0 2 Δ = 16 + 48 = 6 4 r = − 4 − 8 = − 1 2 ∨ r = − 4+ 8 = 4.](https://img.zadania.info/zad/2332285/HzadR5x.png)
Ponieważ założyliśmy, że jest największą z danych liczb, więc mamy
, czyli ciąg
.
Jeżeli jest największą liczbą, to wiemy, że
są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli
![36 = (14− r)(6+ r) = 84+ 8r− r2 r2 − 8r− 48 = 0 / : 2 1 --r2 − 4r − 24 = 0 2 Δ = 16 + 48 = 6 4 r = 4 − 8 = − 4 ∨ r = 4+ 8 = 12.](https://img.zadania.info/zad/2332285/HzadR11x.png)
Ponieważ założyliśmy, że jest największą z danych liczb, więc mamy
, czyli ciąg
.
Sposób II
Szukamy trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny. Ponieważ w takiej sytuacji ciąg
też jest arytmetyczny, możemy założyć (na użytek rachunków), że
(jeżeli tak nie jest, zapisujemy ciąg w odwrotnej kolejności). Liczby
mają spełniać układ równań
![( |{ a + b + c = 18 |( 2b = a + c b2 = (c + 8) ⋅a.](https://img.zadania.info/zad/2332285/HzadR19x.png)
Z pierwszych dwóch równań mamy
![18 = b+ (a + c) = 3b ⇒ b = 6.](https://img.zadania.info/zad/2332285/HzadR20x.png)
W takim razie
![c = 18 − b − a = 12 − a.](https://img.zadania.info/zad/2332285/HzadR21x.png)
Podstawiamy uzyskane wartości do trzeciego równania i mamy
![36 = (20 − a)a 2 a − 2 0a+ 36 = 0 Δ = 4 00− 144 = 256 = 162 a = 20-−-16-= 2 ⇒ a = 20+--16-= 1 8. 2 2](https://img.zadania.info/zad/2332285/HzadR22x.png)
Ponieważ założyliśmy, że , drugie rozwiązanie odpada i mamy
. Wtedy
. Pomijając złożenie
otrzymujemy drugi ciąg spełniający warunki zadania:
.
Odpowiedź: lub