/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Trzywyrazowy

Zadanie nr 2407962

Liczby x,y,z w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny. Suma tych liczb wynosi 13. Te same liczby, w podanej kolejności, są odpowiednio pierwszym, drugim i piątym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wyznacz, x,y oraz z .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Z podanej informacji o sumie i o ciągu geometrycznym mamy układ równań

{ x+ y+ z = 13 y2 = xz.

Dodatkowo mamy informację o ciągu arytmetycznym, z której otrzymujemy y = x+ r i z = x + 4r . Mamy więc układ

{ x + (x + r) + (x + 4r) = 13 (x + r)2 = x (x + 4r). { 3x + 5r = 13 2 2 2 x + 2xr + r = x + 4rx .

Przekształćmy drugie równanie

r2 = 2rx r(r− 2x) = 0.

Jeżeli r = 0 to mamy x = y = z = 133 . Jeżeli natomiast r = 2x to z pierwszego równania mamy

3x + 10x = 13 ⇒ x = 1.

Wtedy r = 2, y = x + r = 3, z = x + 4r = 9 .  
Odpowiedź: (1,3,9 ) lub ( ) 133 , 133 , 133

Wersja PDF