Zadanie nr 2615464
Ciąg jest geometryczny, a ciągi
i
są arytmetyczne. Oblicz
.
Rozwiązanie
W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów sąsiednich, a w ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich. Mamy więc układ równań
![( |{ b2 = ac |( 2(2b − 2) = 4a − 4 + c − 1 2(b+ 3) = a + 5 + c− 15. ( 2 |{ b = ac 4b+ 1 = 4a + c |( 2b+ 16 = a + c.](https://img.zadania.info/zad/2615464/HzadR0x.gif)
Podstawiamy z trzeciego równania do dwóch pierwszych.
![{ b2 = a(2b + 1 6− a) 4b + 1 = 4a + (2b + 1 6− a) { b2 = a(2b + 1 6− a) 2b − 15 = 3a](https://img.zadania.info/zad/2615464/HzadR2x.gif)
Podstawiamy teraz z drugiego równania do pierwszego
![( 2 ) ( 2 ) b2 = -b − 5 2b + 16 − --b+ 5 / ⋅9 3 3 9b2 = (2b − 15)(6b − 2b + 63 ) 2 9b = (2b − 15)(4b + 63 ) 9b2 = 8b2 − 60b + 126b − 9 45 b2 − 6 6b+ 945 = 0 2 2 Δ = 66 − 4 ⋅945 = 576 = 24 66 − 24 66+ 24 b = ---2----= 21 ∨ b = ---2----= 45.](https://img.zadania.info/zad/2615464/HzadR4x.gif)
W pierwszym przypadku mamy
![2- a = 3b− 5 = 9 c = 2b + 16 − a = 49,](https://img.zadania.info/zad/2615464/HzadR5x.gif)
a w drugim
![2 a = -b − 5 = 2 5 3 c = 2b + 1 6− a = 81.](https://img.zadania.info/zad/2615464/HzadR6x.gif)
Odpowiedź: lub