/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Trzywyrazowy

Zadanie nr 2740662

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Ich suma jest równa 15. Jeśli pierwszą i trzecią liczbę pozostawimy bez zmian, a drugą pomniejszymy o jeden to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz wyrazy ciągu arytmetycznego.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy szukane liczby przez a − r,a,a + r . Wtedy z podanej sumy mamy

a − r+ a+ a+ r = 15 ⇒ 3a = 1 5 ⇒ a = 5.

Zatem szukamy liczb postaci 5− r,5 i 5+ r .

Wiemy ponadto, że liczby 5 − r,4,5 + r są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli

42 = (5 − r)(5 + r) 2 16 = 2 5− r r2 = 9 ⇒ r = ± 3.

Dla r = − 3 mamy ciąg (8,5,2) , a dla r = 3 ciąg (2,5,8 ) .  
Odpowiedź: (8,5,2),(2,5 ,8)

Wersja PDF