Zadanie nr 4061592
Trzywyrazowy ciąg o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg
![( ) ----7-----, 1-, 2 a+ b+ 2c b 9a](https://img.zadania.info/zad/4061592/HzadT1x.gif)
jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.
Rozwiązanie
Sposób I
Wiemy, że ciąg jest arytmetyczny, więc
. Ponadto ciąg
![( ) ( ) -----7---- 1--2- -------7--------1- 2-- a + b + 2c ,b,9a = a+ b+ 4b − 2a,b ,9a = ( ) = --7---, 1-, 2 5b− a b 9a](https://img.zadania.info/zad/4061592/HzadR2x.gif)
jest geometryczny. W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów sąsiednich, więc
![( 1) 2 7 2 -- = -------⋅--- b 5b − a 9a 9a (5b− a) = 14b2 2 2 45ab − 9a = 14b 14b2 − 45ab + 9a2 = 0.](https://img.zadania.info/zad/4061592/HzadR3x.gif)
Zanim przekształcimy to równanie dalej zauważmy, że mamy obliczyć
![2- q = 9a-= 2b-= 2⋅ b. 1b 9a 9 a](https://img.zadania.info/zad/4061592/HzadR4x.gif)
Musimy więc obliczyć . Wracamy do naszego równania.
![14b2 − 45ab + 9a 2 = 0 / : a 2 2 14t − 45t+ 9 = 0 Δ = 2025 − 504 = 1521 = 3 92 t = 45-−-39-= -6-= -3- lub t = 45+--39-= 84-= 3. 28 28 14 28 28](https://img.zadania.info/zad/4061592/HzadR6x.gif)
W tym miejscu łatwo popełnić błąd – zauważmy, że jeżeli , to
![b = -3-a ⇒ c = 2b − a = 3a − a = − 4-a < 0 14 7 7](https://img.zadania.info/zad/4061592/HzadR8x.gif)
co jest sprzeczne z założeniem, że liczby: są dodatnie. Zatem
i
![2- b- 2- 2- q = 9 ⋅ a = 9 ⋅3 = 3.](https://img.zadania.info/zad/4061592/HzadR11x.gif)
Sposób II
Jeżeli oznaczymy przez różnicę ciągu arytmetycznego, to
i wiemy, że ciąg
![( 7 1 2 ) ( 7 1 2 ) ---------- ,-,--- = -------------------, -,-------- = a + b + 2c b 9a ( b− r+ b + 2(b + r)) b 9(b − r) --7----1- ---2---- = 4b+ r,b, 9b− 9r](https://img.zadania.info/zad/4061592/HzadR14x.gif)
jest geometryczny. W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów sąsiednich, więc
![( ) 1 2 7 2 b- = 4b-+-r-⋅9b-−-9r- (4b + r)(9b − 9r) = 14b2 2 2 2 36b − 2 7rb− 9r = 14b 22b 2 − 2 7rb− 9r2 = 0.](https://img.zadania.info/zad/4061592/HzadR15x.gif)
Zanim przekształcimy to równanie dalej zauważmy, że mamy obliczyć
![-2 2b 2 b 2 b 2 1 q = 9a1-= ---= -⋅ --= -⋅ -----= --⋅-----r. b 9a 9 a 9 b− r 9 1 − b](https://img.zadania.info/zad/4061592/HzadR16x.gif)
Interesuje nas więc iloraz . Wracamy teraz do naszego równania.
![2 2 2 9r + 27rb− 22b = 0 / : b 9t2 + 27t− 2 2 = 0 2 Δ = 729+ 792 = 1 521 = 39 − 27 − 39 66 11 − 27 + 39 12 2 t = ----------= − ---= − --- lub t = ----------= ---= --. 18 18 3 18 18 3](https://img.zadania.info/zad/4061592/HzadR18x.gif)
Teraz musimy odrobinę uważać, bo wyrazy ciągu mają być dodatnie, więc musi być
, czyli
. Zatem pierwsze rozwiązanie odrzucamy i mamy
. Stąd
![2- --1--- 2- --1--- 2- 2- q = 9 ⋅ 1− r = 9 ⋅ 1− 2 = 9 ⋅ 3 = 3. b 3](https://img.zadania.info/zad/4061592/HzadR23x.gif)
Odpowiedź: