/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Trzywyrazowy

Zadanie nr 4110660

Trzy liczby dodatnie tworzą ciąg arytmetyczny. Średnia arytmetyczna tych liczb jest równa 8. Jeśli od pierwszej odejmiemy 1, drugą pozostawimy bez zmian, a do trzeciej dodamy 5, to otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy szukane liczby przez a − r,a,a + r . Wtedy z podanej średniej mamy

a− r + a + a + r -----------------= 8 ⇒ a = 8. 3

Zatem szukamy liczb postaci 8− r,8 i 8+ r .

Wiemy ponadto, że liczby 7 − r,8,1 3+ r są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli

2 8 = (7 − r)(13 + r) 2 64 = 91 − 6r − r r2 + 6r − 27 = 0 2 Δ = 36+ 4⋅2 7 = 144 = 1 2 − 6 − 12 − 6+ 12 r = ---------= − 9 lub r = ---------= 3 . 2 2

Dla r = − 9 otrzymany ciąg miałby wyrazy ujemne, więc r = 3 . Mamy wtedy ciąg

(8 − r,8,8 + r) = (5 ,8,11).

 
Odpowiedź: (5,8,11 )

Wersja PDF