Zadanie nr 4110660
Trzy liczby dodatnie tworzą ciąg arytmetyczny. Średnia arytmetyczna tych liczb jest równa 8. Jeśli od pierwszej odejmiemy 1, drugą pozostawimy bez zmian, a do trzeciej dodamy 5, to otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.
Rozwiązanie
Oznaczmy szukane liczby przez . Wtedy z podanej średniej mamy
![a− r + a + a + r -----------------= 8 ⇒ a = 8. 3](https://img.zadania.info/zad/4110660/HzadR1x.gif)
Zatem szukamy liczb postaci i
.
Wiemy ponadto, że liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli
![2 8 = (7 − r)(13 + r) 2 64 = 91 − 6r − r r2 + 6r − 27 = 0 2 Δ = 36+ 4⋅2 7 = 144 = 1 2 − 6 − 12 − 6+ 12 r = ---------= − 9 lub r = ---------= 3 . 2 2](https://img.zadania.info/zad/4110660/HzadR5x.gif)
Dla otrzymany ciąg miałby wyrazy ujemne, więc
. Mamy wtedy ciąg
![(8 − r,8,8 + r) = (5 ,8,11).](https://img.zadania.info/zad/4110660/HzadR8x.gif)
Odpowiedź: