/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Trzywyrazowy

Zadanie nr 4244151

Ciąg (1 ,x,y− 1) jest arytmetyczny, natomiast ciąg (x ,y,12) jest geometryczny. Oblicz x oraz y i podaj ten ciąg geometryczny.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego to 2b = a+ c . Jeżeli są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to b2 = ac . Mamy zatem układ równań

{ 2x = 1+ y− 1 = y 2 y = 12x.

Podstawiając wartość y = 2x z pierwszego równania do drugiego mamy

(2x)2 = 12x 2 4x − 12x = 0 4x(x − 3) = 0 x = 0 ∨ x = 3.

Dla x = y = 0 ciąg (0,0,1 2) nie jest geometryczny, więc musi być x = 3 , czyli y = 6 i mamy ciąg geometryczny (3,6,12) .  
Odpowiedź: (x ,y ,12) = (3,6,12 )

Wersja PDF