/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Trzywyrazowy

Zadanie nr 4926846

Trzy liczby, których suma jest równa 52, tworzą ciąg geometryczny. Jeśli pierwszą liczbę zmniejszymy o 16, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Wyznacz te liczby.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Skoro liczby tworzą ciąg geometryczny to są postaci 2 a,aq,aq . Z podanej sumy mamy

2 a+ aq+ aq = 52 a(1+ q+ q2) = 52 a = ----52----. 1 + q + q2

Z informacji o ciągu arytmetycznym wiemy, że liczby

(a − 16,aq ,aq2)

są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Mamy zatem

2aq = (a − 16) + aq2 2 16 = a + aq − 2aq 16 = a(1 − 2q + q2).

Podstawiamy teraz ---52--- a = 1+q +q2 .

52 (1 + q + q2) 16 = ---------- (1− 2q + q2) / ⋅------------ 1 + q + q2 4 4+ 4q+ 4q2 = 13 − 26q + 1 3q2 9q2 − 30q + 9 = 0 / : 3 2 3q − 10q + 3 = 0 Δ = 1 02 − 4⋅9 = 100− 36 = 64 = 82 q = 10-−-8-= 1- ∨ q = 10-+-8-= 3. 6 3 6

Stąd odpowiednio

52 52 52 a = ---------- = ----------= ---= 36 1 + q+ q2 1+ 13 + 19 193

lub

a = ----52---- = ---52-----= 4 . 1 + q + q2 1 + 3+ 9

Są zatem dwa ciągi spełniające warunki zadania:

(36,1 2,4) lub (4,12,36).

Sposób II

Liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli 2 b = ac . Wiemy ponadto, że

a+ b+ c = 52

oraz liczby (a − 16 ,b,c) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, czyli

2b = (a− 16)+ c 2b + 16 = a+ c.

Podstawiając a+ c = 2b+ 16 w równości a + b + c = 52 mamy

2b + 16 + b = 5 2 ⇒ 3b = 36 ⇒ b = 12.

Zatem

a + c = 2b + 1 6 = 40.

Podstawiamy teraz c = 40 − a do równości ac = b 2 = 144 .

a (4 0− a) = 144 0 = a2 − 40a+ 144 2 2 Δ = 40 − 4 ⋅144 = 1600 − 576 = 1024 = 32 40-−-32- 4-0+--32 a = 2 = 4 ∨ a = 2 = 36 .

Stąd c = 40 − 4 = 3 6 lub c = 40− 36 = 4 odpowiednio i są dwa ciągi spełniające warunki zadania:

(4,12 ,3 6) lub (36,12,4).

 
Odpowiedź: (36,1 2,4) lub (4 ,1 2,36)

Wersja PDF