Zadanie nr 4926846
Trzy liczby, których suma jest równa 52, tworzą ciąg geometryczny. Jeśli pierwszą liczbę zmniejszymy o 16, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Wyznacz te liczby.
Rozwiązanie
Sposób I
Skoro liczby tworzą ciąg geometryczny to są postaci . Z podanej sumy mamy
![2 a+ aq+ aq = 52 a(1+ q+ q2) = 52 a = ----52----. 1 + q + q2](https://img.zadania.info/zad/4926846/HzadR1x.gif)
Z informacji o ciągu arytmetycznym wiemy, że liczby
![(a − 16,aq ,aq2)](https://img.zadania.info/zad/4926846/HzadR2x.gif)
są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Mamy zatem
![2aq = (a − 16) + aq2 2 16 = a + aq − 2aq 16 = a(1 − 2q + q2).](https://img.zadania.info/zad/4926846/HzadR3x.gif)
Podstawiamy teraz .
![52 (1 + q + q2) 16 = ---------- (1− 2q + q2) / ⋅------------ 1 + q + q2 4 4+ 4q+ 4q2 = 13 − 26q + 1 3q2 9q2 − 30q + 9 = 0 / : 3 2 3q − 10q + 3 = 0 Δ = 1 02 − 4⋅9 = 100− 36 = 64 = 82 q = 10-−-8-= 1- ∨ q = 10-+-8-= 3. 6 3 6](https://img.zadania.info/zad/4926846/HzadR5x.gif)
Stąd odpowiednio
![52 52 52 a = ---------- = ----------= ---= 36 1 + q+ q2 1+ 13 + 19 193](https://img.zadania.info/zad/4926846/HzadR6x.gif)
lub
![a = ----52---- = ---52-----= 4 . 1 + q + q2 1 + 3+ 9](https://img.zadania.info/zad/4926846/HzadR7x.gif)
Są zatem dwa ciągi spełniające warunki zadania:
![(36,1 2,4) lub (4,12,36).](https://img.zadania.info/zad/4926846/HzadR8x.gif)
Sposób II
Liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli
. Wiemy ponadto, że
![a+ b+ c = 52](https://img.zadania.info/zad/4926846/HzadR11x.gif)
oraz liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, czyli
![2b = (a− 16)+ c 2b + 16 = a+ c.](https://img.zadania.info/zad/4926846/HzadR13x.gif)
Podstawiając w równości
mamy
![2b + 16 + b = 5 2 ⇒ 3b = 36 ⇒ b = 12.](https://img.zadania.info/zad/4926846/HzadR16x.gif)
Zatem
![a + c = 2b + 1 6 = 40.](https://img.zadania.info/zad/4926846/HzadR17x.gif)
Podstawiamy teraz do równości
.
![a (4 0− a) = 144 0 = a2 − 40a+ 144 2 2 Δ = 40 − 4 ⋅144 = 1600 − 576 = 1024 = 32 40-−-32- 4-0+--32 a = 2 = 4 ∨ a = 2 = 36 .](https://img.zadania.info/zad/4926846/HzadR20x.gif)
Stąd lub
odpowiednio i są dwa ciągi spełniające warunki zadania:
![(4,12 ,3 6) lub (36,12,4).](https://img.zadania.info/zad/4926846/HzadR23x.gif)
Odpowiedź: lub