Zadanie nr 5158126
Trzywyrazowy ciąg o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg
![( ) 1-, 2-,-----1------ a 3b 2a+ 2b+ c](https://img.zadania.info/zad/5158126/HzadT1x.gif)
jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.
Rozwiązanie
Sposób I
Wiemy, że ciąg jest arytmetyczny, więc
. Ponadto ciąg
![( ) ( ) 1- 2-------1------ 1--2- -------1--------- a ,3b,2a + 2b+ c = a,3b ,2a + 2b + 2b − a = ( ) = 1,-2-,--1---- . a 3b a+ 4b](https://img.zadania.info/zad/5158126/HzadR2x.gif)
W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów sąsiednich, więc
![( 2 ) 2 1 1 --- = --⋅------- 3b a a + 4b 4a (a+ 4b ) = (3b)2 2 2 4a + 16ab = 9b 4a2 + 16ab − 9b2 = 0](https://img.zadania.info/zad/5158126/HzadR3x.gif)
Zanim przekształcimy to równanie dalej zauważmy, że mamy obliczyć
![2- q = 3b-= 2a-= 2⋅ a. 1a 3b 3 b](https://img.zadania.info/zad/5158126/HzadR4x.gif)
Musimy więc obliczyć . Wracamy do naszego równania.
![4a2 + 16ab − 9b 2 / : b2 2 4t + 16t− 9 = 0 Δ = 256 + 144 = 400 t = −-16-−-20-< 0 lub t = −-16-+-20-= 4-= 1. 8 8 8 2](https://img.zadania.info/zad/5158126/HzadR6x.gif)
Ujemna wartość jest sprzeczna z informacją, że liczby
i
są dodatnie, więc
i
![q = 2-⋅ a-= 2-⋅ 1-= 1-. 3 b 3 2 3](https://img.zadania.info/zad/5158126/HzadR11x.gif)
Sposób II
Jeżeli oznaczymy przez różnicę ciągu arytmetycznego, to
i wiemy, że ciąg
![( 1 2 1 ) ( 1 2 1 ) --,--,------------ = -----,--, --------------------- = a 3b 2a + 2b + c ( b− r 3b 2(b− r))+ 2b + b + r 1 2 1 = -----,--, ------- b− r 3b 5b− r](https://img.zadania.info/zad/5158126/HzadR14x.gif)
jest geometryczny. W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów sąsiednich, więc
![( 2 )2 1 1 --- = -----⋅ ------- 3b b− r 5b− r 4(b − r)(5b− r) = (3b)2 20b2 − 24rb + 4r2 = 9b 2 2 2 11b − 24rb + 4r = 0.](https://img.zadania.info/zad/5158126/HzadR15x.gif)
Zanim przekształcimy to równanie dalej zauważmy, że mamy obliczyć
![-2 ( ) q = 3b-= 2a-= 2-⋅ b−-r = 2- 1− r- . 1a 3b 3 b 3 b](https://img.zadania.info/zad/5158126/HzadR16x.gif)
Interesuje nas więc iloraz . Wracamy teraz do naszego równania.
![11b2 − 24rb + 4r2 = 0 / : b2 2 11− 24t+ 4t Δ = 57 6− 176 = 400 t = 24-−-20-= 1- lub t = 24-+-20- = 11-. 8 2 8 2](https://img.zadania.info/zad/5158126/HzadR18x.gif)
Teraz musimy odrobinę uważać, bo wyrazy ciągu mają być dodatnie, więc musi być
, czyli
. Zatem drugie rozwiązanie odrzucamy i mamy
. Stąd
![2 ( r) 2 ( 1) 2 1 1 q = -- 1− -- = -- 1 − -- = --⋅--= -. 3 b 3 2 3 2 3](https://img.zadania.info/zad/5158126/HzadR23x.gif)
Odpowiedź: