Zadanie nr 5185899
Liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Jeśli liczbę
zwiększymy o 1, a liczbę
zwiększymy o 3, to otrzymane liczby będą kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wyznacz
i
.
Rozwiązanie
Sposób I
Wiemy, że liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, więc
i
dla pewnego
. Wiemy ponadto, że ciąg
jest ciągiem geometrycznym, więc
![2 (x + 1) = 4(y+ 3) (4 + r + 1)2 = 4(4 + 2r + 3) (5 + r)2 = 4(2r + 7) 2 r + 10r + 25 = 8r + 28 r2 + 2r − 3 = 0 2 Δ = 4 + 12 = 1 6 = 4 − 2− 4 −2 + 4 r = -------= − 3 ∨ r = -------= 1. 2 2](https://img.zadania.info/zad/5185899/HzadR5x.gif)
Otrzymujemy stąd dwa ciągi: i
.
Sposób II
Wiemy, że ciąg jest arytmetyczny, więc
![2x = 4 + y ⇒ y = 2x − 4.](https://img.zadania.info/zad/5185899/HzadR9x.gif)
Wiemy ponadto, że ciąg jest geometryczny, więc
![(x + 1)2 = 4(y + 3) 2 (x + 1) = 4(2x − 4 + 3 ) x2 + 2x + 1 = 8x − 4 x2 − 6x + 5 = 0 2 Δ = 36− 20 = 4 6-−-4- 6+--4- x = 2 = 1 ∨ x = 2 = 5 .](https://img.zadania.info/zad/5185899/HzadR11x.gif)
Mamy wtedy odpowiednio i
.
Odpowiedź: lub