Zadanie nr 5417795
Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Ich suma wynosi 27. Jeśli największą z tych liczb zwiększymy o 12, a pozostałych nie zmienimy, to uzyskamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Wyznacz te liczby.
Rozwiązanie
Sposób I
Wiemy, że szukane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, czyli są postaci: . W dodatku znamy ich sumę
![27 = a− r+ a + a + r = 3a ⇒ a = 9.](https://img.zadania.info/zad/5417795/HzadR1x.png)
Zatem szukane liczby są postaci . Nie wiemy, która z tych liczb jest największa, więc musimy rozważyć dwa przypadki.
Jeżeli jest największą liczbą, to wiemy, że
są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli
![2 81 = (9 − r)(21 + r) = 189− 12r− r r2 + 12r− 108 = 0 / : 2 1-r2 + 6r − 54 = 0 2 Δ = 36 + 108 = 1 44 = 122 r = − 6 − 12 = − 1 8 ∨ r = − 6+ 12 = 6.](https://img.zadania.info/zad/5417795/HzadR5x.png)
Ponieważ założyliśmy, że jest największą z danych liczb, więc mamy
, czyli ciąg
.
Jeżeli jest największą liczbą, to wiemy, że
są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli
![81 = (2 1− r)(9 + r) = 1 89+ 12r− r2 r2 − 12r− 108 = 0 / : 2 1 --r2 − 6r − 54 = 0 2 Δ = 36+ 108 = 1 44 = 122 r = 6 − 12 = − 6 ∨ r = 6+ 12 = 18.](https://img.zadania.info/zad/5417795/HzadR11x.png)
Ponieważ założyliśmy, że jest największą z danych liczb, więc mamy
, czyli ciąg
.
Sposób II
Szukamy trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny. Ponieważ w takiej sytuacji ciąg
też jest arytmetyczny, możemy założyć (na użytek rachunków), że
(jeżeli tak nie jest, zapisujemy ciąg w odwrotnej kolejności). Liczby
mają spełniać układ równań
![( | a + b + c = 2 7 { | 2b = a+ c ( b 2 = (c+ 1 2)⋅a.](https://img.zadania.info/zad/5417795/HzadR19x.png)
Z pierwszych dwóch równań mamy
![27 = b+ (a + c) = 3b ⇒ b = 9.](https://img.zadania.info/zad/5417795/HzadR20x.png)
W takim razie
![c = 27 − b − a = 18 − a.](https://img.zadania.info/zad/5417795/HzadR21x.png)
Podstawiamy uzyskane wartości do trzeciego równania i mamy
![81 = (30 − a)a 2 a − 30a+ 81 = 0 Δ = 900− 324 = 57 6 = 242 a = 30-−-24-= 3 lub a = 30+--24-= 27 . 2 2](https://img.zadania.info/zad/5417795/HzadR22x.png)
Ponieważ założyliśmy, że , drugie rozwiązanie odpada i mamy
. Wtedy
. Pomijając złożenie
otrzymujemy drugi ciąg spełniający warunki zadania:
.
Odpowiedź: lub