/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Trzywyrazowy

Zadanie nr 5417795

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Ich suma wynosi 27. Jeśli największą z tych liczb zwiększymy o 12, a pozostałych nie zmienimy, to uzyskamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Wyznacz te liczby.

Rozwiązanie

Sposób I

Wiemy, że szukane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, czyli są postaci: a− r,a,a + r . W dodatku znamy ich sumę

27 = a− r+ a + a + r = 3a ⇒ a = 9.

Zatem szukane liczby są postaci 9 − r,9,9 + r . Nie wiemy, która z tych liczb jest największa, więc musimy rozważyć dwa przypadki.

Jeżeli 9+ r jest największą liczbą, to wiemy, że 9 − r,9,21 + r są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli

2 81 = (9 − r)(21 + r) = 189− 12r− r r2 + 12r− 108 = 0 / : 2 1-r2 + 6r − 54 = 0 2 Δ = 36 + 108 = 1 44 = 122 r = − 6 − 12 = − 1 8 ∨ r = − 6+ 12 = 6.

Ponieważ założyliśmy, że 9 + r jest największą z danych liczb, więc mamy r = 6 , czyli ciąg (3,9,15) .

Jeżeli 9− r jest największą liczbą, to wiemy, że 21 − r,9,9 + r są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli

81 = (2 1− r)(9 + r) = 1 89+ 12r− r2 r2 − 12r− 108 = 0 / : 2 1 --r2 − 6r − 54 = 0 2 Δ = 36+ 108 = 1 44 = 122 r = 6 − 12 = − 6 ∨ r = 6+ 12 = 18.

Ponieważ założyliśmy, że 9 − r jest największą z danych liczb, więc mamy r = − 6 , czyli ciąg (15,9,3) .

Sposób II

Szukamy trzech liczb (a,b,c) tworzących ciąg arytmetyczny. Ponieważ w takiej sytuacji ciąg (c,b,a) też jest arytmetyczny, możemy założyć (na użytek rachunków), że a < b < c (jeżeli tak nie jest, zapisujemy ciąg w odwrotnej kolejności). Liczby a,b,c mają spełniać układ równań

( | a + b + c = 2 7 { | 2b = a+ c ( b 2 = (c+ 1 2)⋅a.

Z pierwszych dwóch równań mamy

27 = b+ (a + c) = 3b ⇒ b = 9.

W takim razie

c = 27 − b − a = 18 − a.

Podstawiamy uzyskane wartości do trzeciego równania i mamy

81 = (30 − a)a 2 a − 30a+ 81 = 0 Δ = 900− 324 = 57 6 = 242 a = 30-−-24-= 3 lub a = 30+--24-= 27 . 2 2

Ponieważ założyliśmy, że a < b < c , drugie rozwiązanie odpada i mamy a = 3 . Wtedy c = 1 8− a = 15 . Pomijając złożenie a < b < c otrzymujemy drugi ciąg spełniający warunki zadania: (15,9,3 ) .  
Odpowiedź: (3,9,1 5) lub (15 ,9,3)

Wersja PDF