Zadanie nr 5763161
Ciąg jest geometryczny, ciąg
jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz
. Oblicz
.
Rozwiązanie
Sposób I
Skoro liczby tworzą ciąg geometryczny to są postaci
. Z podanej sumy mamy
![2 a+ aq+ aq = 39 a(1+ q+ q2) = 39 a = ----39----. 1 + q + q2](https://img.zadania.info/zad/5763161/HzadR2x.gif)
Z informacji o ciągu arytmetycznym wiemy, że liczby
![(a+ 1,b+ 5,c) = (a+ 1,aq + 5,aq2)](https://img.zadania.info/zad/5763161/HzadR3x.gif)
są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Mamy zatem
![2(aq + 5 ) = (a+ 1)+ aq2 2 9 = a+ aq − 2aq 9 = a(1− 2q+ q2).](https://img.zadania.info/zad/5763161/HzadR4x.gif)
Podstawiamy teraz .
![39 (1+ q + q 2) 9 = ----------(1 − 2q + q2) / ⋅ ------------ 1+ q+ q2 3 3 + 3q + 3q 2 = 13− 26q + 13q2 10q 2 − 2 9q+ 10 = 0 2 2 2 Δ = 29 − 4 ⋅10 = 44 1 = 21 29-−-21- 2- 29-+-21- 5- q = 20 = 5 ∨ q = 20 = 2.](https://img.zadania.info/zad/5763161/HzadR6x.gif)
Łatwo sprawdzić, że jeżeli , to
, co jest sprzeczne z informacją o tym, że ciąg arytmetyczny jest malejący. Zatem
i
![39 39 39 a = ----2---4--= 25+-10+4-= 39-= 2 5 1+ 5 + 25 --25---- 25 2 b = aq = 25 ⋅--= 10 5 c = bq = 10 ⋅ 2-= 4. 5](https://img.zadania.info/zad/5763161/HzadR10x.gif)
Sposób II
Liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli
. Wiemy ponadto, że
![a+ b+ c = 39](https://img.zadania.info/zad/5763161/HzadR13x.gif)
oraz liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, czyli
![2(b + 5) = (a + 1) + c 2b + 9 = a + c.](https://img.zadania.info/zad/5763161/HzadR15x.gif)
Podstawiając w równości
mamy
![2b+ 9+ b = 39 ⇒ 3b = 30 ⇒ b = 1 0.](https://img.zadania.info/zad/5763161/HzadR18x.gif)
Zatem
![a+ c = 2b + 9 = 29 .](https://img.zadania.info/zad/5763161/HzadR19x.gif)
Podstawiamy teraz do równości
.
![a(29− a) = 100 0 = a2 − 29a + 100 Δ = 29 2 − 4 ⋅100 = 841 − 400 = 441 = 212 29 − 21 29+ 21 a = --------= 4 ∨ a = --------= 2 5. 2 2](https://img.zadania.info/zad/5763161/HzadR22x.gif)
W pierwszym przypadku , co stanowi sprzeczność z informacją o tym, że ciąg arytmetyczny jest malejący. Zatem
i
.
Odpowiedź: