Zadanie nr 5775029
Ciąg jest arytmetyczny i
, gdzie
oznacza sumę
początkowych wyrazów tego ciągu. Oblicz
, wiedząc, że liczby
tworzą rosnący ciąg geometryczny.
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru
![2b + (n − 1)r Sn = --1------------⋅n 2](https://img.zadania.info/zad/5775029/HzadR0x.gif)
na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Mamy zatem
![2b + 59r 2b + 38r 105 = S60 − S 39 =--1-------⋅60 − ---1------⋅39 = 2 2 = (2b 1 + 5 9r)⋅30 − (b1 + 19r) ⋅39 = 2 1b1 + 1029r / : 21 5 = b + 49r = b . 1 50](https://img.zadania.info/zad/5775029/HzadR2x.gif)
Stąd w szczególności
![b47 + b53 = b1 + 46r + b1 + 52r = 2b 1 + 9 8r = 2(b1 + 49r) = 2b50 = 1 0.](https://img.zadania.info/zad/5775029/HzadR3x.gif)
Pozostało skorzystać z podanej informacji o tym, że liczby i
są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Stąd
![2 (10x ) = 1⋅(5x + 5) / : 5 20x 2 = x+ 1 2 20x − x − 1 = 0 Δ = 1+ 80 = 81 x = 1−--9-= − 1- lub x = 1-+-9-= 1. 40 5 40 4](https://img.zadania.info/zad/5775029/HzadR6x.gif)
Ciąg ma być rosnący, więc ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy .
Odpowiedź: