/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Trzywyrazowy

Zadanie nr 5935278

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Ciąg (a,b,c) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg

(4a,3b,c + 12)

jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto, spełniony jest warunek c− b = 36 . Oblicz a,b oraz c .

Rozwiązanie

Sposób I

Skoro liczby a,b,c tworzą ciąg geometryczny, to są postaci: 2 a,aq,aq . Wiemy ponadto, że

36 = c − b = aq 2 − aq = aq(q − 1) 36 a = --------. q(q− 1)

Z informacji o ciągu arytmetycznym wiemy, że liczby

(4a ,3b ,c+ 1 2) = (4a,3aq,aq 2 + 1 2)

są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Mamy zatem

2 4a+ (aq + 12) = 2 ⋅3aq 12 = 6aq − 4a − aq 2 12 = a(6q − 4 − q2).

Podstawiamy teraz a = -326- q −q .

36 (q2 − q ) 12 = -2----(6q − 4 − q2) / ⋅ -------- q − q 1 2 q2 − q = 18q − 1 2− 3q2 2 4q − 19q + 12 = 0 Δ = 192 − 4⋅ 4⋅1 2 = 361 − 192 = 169 = 13 2 q = 19−--13-= 6-= 3- ∨ q = 1-9+-1-3 = 4. 8 8 4 8

Dla q = 34 mamy

a = ---3(6--)- = − 12 ⋅16, 3⋅ − 1 4 4

więc otrzymany ciąg nie spełnia warunków zadania (bo wyrazy miały być dodatnie). Zatem q = 4 i wtedy

-36- a = 4 ⋅3 = 3 b = aq = 12 c = bq = 48.

Sposób II

Liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli b 2 = ac . Wiemy ponadto, że

b = c − 36

oraz liczby (4a,3b ,c+ 1 2) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, czyli

4a + (c + 12) = 2⋅3b = 6(c− 36) = 6c − 216 4a = 5c− 228 / : 4 5c−--228- a = 4 .

Podstawiamy teraz tę wartość oraz b = c − 36 do równości ac = b2 .

5c − 22 8 ---------⋅ c = (c− 3 6)2 / ⋅4 2 4 2 5c − 228c = 4c − 2 88c+ 5184 2 c + 60c − 5184 = 0 Δ = 3600 + 20 736 = 243 36 = 1562 c = −-6-0−-1-56 = − 10 8 ∨ c = −-60-+-156-= 48. 2 2

Pierwsza możliwość jest sprzeczna z treścią zadania (wyrazy ciągu mają być dodatnie), więc c = 48 . Mamy wtedy b = c− 36 = 12 i

a = 5c-−-2-28 = 3. 4

 
Odpowiedź: (a,b,c) = (3,12,48)

Wersja PDF