Zadanie nr 5935278
Ciąg jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg
![(4a,3b,c + 12)](https://img.zadania.info/zad/5935278/HzadT1x.png)
jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto, spełniony jest warunek . Oblicz
oraz
.
Rozwiązanie
Sposób I
Skoro liczby tworzą ciąg geometryczny, to są postaci:
. Wiemy ponadto, że
![36 = c − b = aq 2 − aq = aq(q − 1) 36 a = --------. q(q− 1)](https://img.zadania.info/zad/5935278/HzadR2x.png)
Z informacji o ciągu arytmetycznym wiemy, że liczby
![(4a ,3b ,c+ 1 2) = (4a,3aq,aq 2 + 1 2)](https://img.zadania.info/zad/5935278/HzadR3x.png)
są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Mamy zatem
![2 4a+ (aq + 12) = 2 ⋅3aq 12 = 6aq − 4a − aq 2 12 = a(6q − 4 − q2).](https://img.zadania.info/zad/5935278/HzadR4x.png)
Podstawiamy teraz .
![36 (q2 − q ) 12 = -2----(6q − 4 − q2) / ⋅ -------- q − q 1 2 q2 − q = 18q − 1 2− 3q2 2 4q − 19q + 12 = 0 Δ = 192 − 4⋅ 4⋅1 2 = 361 − 192 = 169 = 13 2 q = 19−--13-= 6-= 3- ∨ q = 1-9+-1-3 = 4. 8 8 4 8](https://img.zadania.info/zad/5935278/HzadR6x.png)
Dla mamy
![a = ---3(6--)- = − 12 ⋅16, 3⋅ − 1 4 4](https://img.zadania.info/zad/5935278/HzadR8x.png)
więc otrzymany ciąg nie spełnia warunków zadania (bo wyrazy miały być dodatnie). Zatem i wtedy
![-36- a = 4 ⋅3 = 3 b = aq = 12 c = bq = 48.](https://img.zadania.info/zad/5935278/HzadR10x.png)
Sposób II
Liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli
. Wiemy ponadto, że
![b = c − 36](https://img.zadania.info/zad/5935278/HzadR13x.png)
oraz liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, czyli
![4a + (c + 12) = 2⋅3b = 6(c− 36) = 6c − 216 4a = 5c− 228 / : 4 5c−--228- a = 4 .](https://img.zadania.info/zad/5935278/HzadR15x.png)
Podstawiamy teraz tę wartość oraz do równości
.
![5c − 22 8 ---------⋅ c = (c− 3 6)2 / ⋅4 2 4 2 5c − 228c = 4c − 2 88c+ 5184 2 c + 60c − 5184 = 0 Δ = 3600 + 20 736 = 243 36 = 1562 c = −-6-0−-1-56 = − 10 8 ∨ c = −-60-+-156-= 48. 2 2](https://img.zadania.info/zad/5935278/HzadR18x.png)
Pierwsza możliwość jest sprzeczna z treścią zadania (wyrazy ciągu mają być dodatnie), więc . Mamy wtedy
i
![a = 5c-−-2-28 = 3. 4](https://img.zadania.info/zad/5935278/HzadR21x.png)
Odpowiedź: