/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Trzywyrazowy

Zadanie nr 6058374

Dla jakich wartości a i b liczby 2 a− b,a oraz 2− b są trzema kolejnymi wyrazami zarówno ciągu arytmetycznego, jak i geometrycznego?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Tak będzie, gdy

{ 2 2a = (a − b) + (2 − b) a4 = (a − b)(2 − b) /⋅ 4 { 2b = 2 + a − 2a 2 4a4 = (2a − 2b )(4− 2b)

Podstawiając teraz za 2b z pierwszego równania do drugiego mamy

4 2 2 4a = (2a− 2− a+ 2a )(4− 2− a+ 2a ) 4a4 = (2a2 + a− 2 )(2a2 − a+ 2 ) = (2a2 + (a− 2))(2a2 − (a− 2)) 4 4 2 4a = 4a − (a− 2 ) 2 (a − 2) = 0 ⇒ a = 2.

Stąd

b = 1(2 + a − 2a2) = 1-⋅(− 4) = − 2. 2 2

 
Odpowiedź: (a,b) = (2 ,−2 )

Wersja PDF