Zadanie nr 6152999
Ciąg jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg
![(2a ,2b ,c+ 1 )](https://img.zadania.info/zad/6152999/HzadT1x.png)
jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto, spełniony jest warunek . Oblicz
oraz
.
Rozwiązanie
Sposób I
Skoro liczby tworzą ciąg geometryczny, to są postaci:
. Wiemy ponadto, że
![6 = c− b = aq2 − aq = aq(q − 1) 6 a = --------. q(q − 1)](https://img.zadania.info/zad/6152999/HzadR2x.png)
Z informacji o ciągu arytmetycznym wiemy, że liczby
![(2a ,2b,c+ 1) = (2a,2aq,aq 2 + 1 )](https://img.zadania.info/zad/6152999/HzadR3x.png)
są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Mamy zatem
![2 2 ⋅2aq = 2a+ aq + 1 1 = 4aq− 2a− aq2 1 = a(4q− 2− q2).](https://img.zadania.info/zad/6152999/HzadR4x.png)
Podstawiamy teraz .
![---6-- 2 2 1 = q2 − q(4q − 2− q ) / ⋅(q − q) q2 − q = 24q − 12 − 6q2 2 7q − 25q + 12 = 0 Δ = 252 − 4⋅7 ⋅12 = 625− 336 = 28 9 = 172 q = 25-−-17-= 4- ∨ q = 25-+-17-= 3. 14 7 14](https://img.zadania.info/zad/6152999/HzadR6x.png)
Dla mamy
![a = ---6(---)-= − 49, 4⋅ − 3 2 7 7](https://img.zadania.info/zad/6152999/HzadR8x.png)
więc otrzymany ciąg nie spełnia warunków zadania (bo wyrazy miały być dodatnie). Zatem i wtedy
![6 a = ---- = 1 3 ⋅2 b = aq = 3 c = bq = 9.](https://img.zadania.info/zad/6152999/HzadR10x.png)
Sposób II
Liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli
. Wiemy ponadto, że
![b = c− 6](https://img.zadania.info/zad/6152999/HzadR13x.png)
oraz liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, czyli
![2a + (c + 1) = 2 ⋅2b = 4 (c− 6) = 4c− 24 2a = 3c− 2 5 / : 2 3c−--25- a = 2 .](https://img.zadania.info/zad/6152999/HzadR15x.png)
Podstawiamy teraz tę wartość oraz do równości
.
![3c − 25 --------⋅c = (c − 6)2 /⋅ 2 22 2 3c − 25c = 2c − 24c + 72 2 c − c− 72 = 0 Δ = 1+ 288 = 28 9 = 172 c = 1-−-17-= − 8 ∨ c = 1+--17-= 9. 2 2](https://img.zadania.info/zad/6152999/HzadR18x.png)
Pierwsza możliwość jest sprzeczna z treścią zadania (wyrazy ciągu mają być dodatnie), więc . Mamy wtedy
i
![a = 3c-−-25-= 1. 2](https://img.zadania.info/zad/6152999/HzadR21x.png)
Odpowiedź: