Zadanie nr 6179468
O liczbach wiemy, że ciąg
jest arytmetyczny i
, zaś ciąg
jest geometryczny. Wyznacz te liczby.
Rozwiązanie
Sposób I
Oznaczmy szukane liczby przez . Z warunku
mamy
![b− r+ b+ r = 10 ⇒ b = 5.](https://img.zadania.info/zad/6179468/HzadR2x.gif)
Zatem szukamy liczb postaci . Pozostało teraz wykorzystać informację o tym, że liczby
![a+ 1 = 5 − r+ 1 = 6 − r b+ 4 = 9 c+ 19 = 5 + r+ 19 = 24 + r](https://img.zadania.info/zad/6179468/HzadR4x.gif)
tworzą ciąg geometryczny. Skoro tak jest, to kwadrat środkowej liczby musi być iloczynem pierwszej i trzeciej. Mamy więc równanie
![9 2 = (6− r)(24+ r) 2 8 1 = 144 − 24r + 6r − r r2 + 18r − 63 = 0 2 Δ = 324 + 2 52 = 576 = 24 − 18− 24 − 18 + 24 r = ----------= − 2 1 ∨ r = ----------= 3. 2 2](https://img.zadania.info/zad/6179468/HzadR5x.gif)
Zatem szukane liczby to lub
.
Sposób II
Skoro liczby tworzą ciąg arytmetyczny to
. Zatem
![10 = a + c = 2b ⇒ b = 5.](https://img.zadania.info/zad/6179468/HzadR10x.gif)
Teraz zapiszmy informację o tym, że ciąg jest geometryczny.
![(b+ 4 )2 = (a+ 1)(c+ 19) 2 9 = (a+ 1)(10 − a+ 19) 81 = (a + 1)(29 − a) 81 = 29a + 29 − a2 − a 2 a − 2 8a+ 52 = 0 Δ = 7 84− 208 = 576 = 242 a = 28-−-24-= 2 ⇒ a = 28+--24-= 2 6. 2 2](https://img.zadania.info/zad/6179468/HzadR12x.gif)
Wtedy i
odpowiednio.
Odpowiedź: lub