/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Trzywyrazowy

Zadanie nr 6304580

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Trzy liczby dodatnie tworzą ciąg arytmetyczny. Średnia arytmetyczna tych liczb jest równa 10. Jeśli od pierwszej odejmiemy 2, drugą pozostawimy bez zmian, a do trzeciej dodamy 7, to otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.

Rozwiązanie

Oznaczmy szukane liczby przez a − r,a,a + r . Wtedy z podanej średniej mamy

a − r + a + a+ r ----------------- = 10 ⇒ a = 10. 3

Zatem szukamy liczb postaci 10− r,10 i 10 + r .

Wiemy ponadto, że liczby 8 − r,10 ,1 7+ r są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli

2 10 = (8− r)(1 7+ r) 2 100 = 136 − 9r − r r2 + 9r− 36 = 0 2 Δ = 81 + 4 ⋅36 = 22 5 = 15 −9 − 1 5 − 9 + 15 r = ---------= − 12 lub r = ---------= 3. 2 2

Dla r = − 12 otrzymujemy ciąg, który ma wyrazy ujemne, więc r = 3 . Mamy wtedy ciąg

(10 − r,10,1 0+ r) = (7,10,13).

 
Odpowiedź: (7,10,1 3)

Wersja PDF