/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Trzywyrazowy

Zadanie nr 6407674

Ciąg (2 ,x,y− 2) jest arytmetyczny, natomiast ciąg (x ,y,16) jest geometryczny. Oblicz x oraz y i podaj ten ciąg geometryczny.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego to 2b = a+ c . Jeżeli są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to b2 = ac . Mamy zatem układ równań

{ 2x = 2+ y− 2 = y 2 y = 16x.

Podstawiając wartość y = 2x z pierwszego równania do drugiego mamy

(2x)2 = 16x 2 4x − 16x = 0 4x(x − 4) = 0 x = 0 ∨ x = 4.

Dla x = y = 0 ciąg (0,0,1 6) nie jest geometryczny, więc musi być x = 4 , czyli y = 8 i mamy ciąg geometryczny (4,8,16) .  
Odpowiedź: (x ,y ,16) = (4,8,16 )

Wersja PDF