/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Trzywyrazowy

Zadanie nr 6661171

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Liczby a,b,c są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a liczby a + 1,b + 2,c + 6 – trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Znajdź liczby a,b,c wiedząc, że ich suma jest równa 12.

Rozwiązanie

Wiemy, że b = a + r i c = a + 2r dla pewnej liczby r . Ponadto

a+ b+ c = 12 a+ a+ r+ a + 2r = 1 2 3a+ 3r = 12 ⇒ r = 4− a.

Zatem b = a + r = 4 i c = a+ 2r = 8− a .

Pozostało wykorzystać informację o ciągu geometrycznym.

2 (b + 2) = (a + 1)(c + 6) 62 = (a+ 1 )(14− a) 2 36 = −a + 1 3a+ 14 a2 − 13a + 22 = 0 Δ = 169 − 88 = 81 13 − 9 13 + 9 a = -------= 2 ∨ a = -------= 11. 2 2

Daje to nam r = 2 lub r = −7 odpowiednio oraz

(a,b,c) = (2,4 ,6 ) ∨ (a,b,c) = (11,4,− 3).

 
Odpowiedź: (a,b,c) = (2 ,4,6) lub (a,b,c) = (1 1,4,− 3)

Wersja PDF