/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Trzywyrazowy

Zadanie nr 7131575

Trzy liczby, których suma jest równa 45, tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli drugą liczbę powiększymy o 3, a trzecią liczbę powiększymy o 9, to otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez a− r,a,a+ r szukane wyrazy ciągu arytmetycznego. Z podanej sumy mamy

45 = a − r+ a+ a+ r = 3a ⇒ a = 1 5.

Szukamy zatem liczb postaci 15− r,15,15 + r .

Wiemy ponadto, że liczby 1 5− r,1 8,24+ r tworzą ciąg geometryczny, czyli

182 = (15− r)(24+ r) 2 324 = 360 − 24r + 15r − r r2 + 9r− 36 = 0 Δ = 81 + 144 = 225 = 15 2 −9 − 1 5 − 9 + 15 r = ---------= − 12 lub r = ---------= 3. 2 2

Zatem szukane liczby to (27,15,3 ) lub (12,1 5,18) .  
Odpowiedź: (27,1 5,3) lub (12 ,15,18)

Wersja PDF