/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Trzywyrazowy

Zadanie nr 7209117

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Ich suma jest równa 60. Jeśli pierwszą i trzecią liczbę pozostawimy bez zmian, a drugą pomniejszymy o cztery, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz wyrazy ciągu arytmetycznego.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy szukane liczby przez a − r,a,a + r . Wtedy z podanej sumy mamy

a − r + a + a + r = 60 ⇒ 3a = 60 ⇒ a = 20.

Zatem szukamy liczb postaci 20− r,20 i 20 + r .

Wiemy ponadto, że liczby 2 0− r,1 6,20+ r są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli

162 = (20− r)(20+ r) 2 256 = 400 − r r2 = 14 4 ⇒ r = ± 12.

Dla r = − 12 mamy ciąg (32,20,8 ) , a dla r = 12 ciąg (8 ,2 0,32) .  
Odpowiedź: (32,2 0,8) lub (8 ,2 0,32)

Wersja PDF