/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Trzywyrazowy

Zadanie nr 7432106

Ciąg (a ,b,c) jest arytmetyczny i a+ b+ c = 33 . Ciąg (a,b+ 3,c+ 13) jest geometryczny. Oblicz a,b i c .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Skoro podane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, możemy je oznaczyć przez b− r,b,b + r . Z podanej sumy mamy więc

33 = (b − r)+ b+ (b+ r) = 3b ⇒ b = 1 1.

Zatem szukane liczby to 11 − r,11,11 + r .

Pozostało teraz skorzystać z drugiej informacji: jeżeli trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to kwadrat środkowej musi być równy iloczynowi pozostałych, czyli

2 (b + 3) = a(c + 13) 142 = (11− r)(24+ r) 2 196 = 264 − 24r + 11r − r r2 + 13r− 68 = 0 Δ = 169 + 272 = 441 = 21 2 − 1 3− 2 1 − 34 − 13+ 21 8 r = ---------- = -----= − 17 ∨ r = ----------= --= 4. 2 2 2 2

Są zatem dwa takie ciągi

(2 8,11,− 6), (7 ,1 1,15).

 
Odpowiedź: (a,b,c) = (2 8,11,− 6) lub (a,b,c) = (7 ,11,15)

Wersja PDF