/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Trzywyrazowy

Zadanie nr 8105181

Trzy liczby całkowite tworzą ciąg geometryczny o ilorazie będącym ujemną liczbą całkowitą. Jeżeli najmniejszą z tych liczb zwiększymy o 9, to liczby te (w tej samej kolejności) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dane liczby możemy zapisać w postaci: 2 a1,a1q,a 1q . Jest jednak mały kłopot, bo nie wiemy, która z tych liczb jest najmniejsza. Na szczęście wiemy, że q < 0 , więc są dwie możliwości: jeżeli a1 > 0 , to najmniejsza jest druga liczba, a jeżeli a < 0 1 , to najmniejsza jest trzecia liczba (bo 2 q ≥ 1 ).

Zajmijmy się najpierw przypadkiem, gdy a1 > 0 . Wtedy wiemy, że ciąg (a1,a1q + 9,a1q2) jest arytmetyczny, czyli

2 2(a1q + 9) = a1 + a1q 18 = a (q2 − 2q + 1 ) = a (q− 1)2 1 1 a = ---18---. 1 (q− 1)2

Z założenia a1 i q są liczbami całkowitymi, więc (q− 1)2 jest kwadratem liczby całkowitej dzielącym 18. Zatem 2 (q − 1) = 1 lub 2 (q − 1) = 9 , czyli

q ∈ {− 2,0,2,4} .

Interesują nas jednak tylko ujemne wartości q , więc q = − 2 , 18 a1 = (q−1)2 = 2 i szukane liczby to

(2,− 4,8).

Zajmijmy się teraz drugim przypadkiem, gdy a < 0 1 . Wtedy arytmetyczny jest ciąg 2 (a1,a1q,a1q + 9) , więc

2 2a1q = a1 + a 1q + 9 − 9 = a (q2 − 2q + 1) = a (q− 1)2 1 1 a = --−-9---. 1 (q− 1)2

Tak jak poprzednio wnioskujemy stąd, że (q − 1)2 = 1 lub (q − 1)2 = 9 , czyli

q ∈ {− 2,0,2,4} .

Tak jak poprzednio mamy stąd q = − 2 i --−9-- a1 = (q−1)2 = − 1 . Otrzymujemy więc w tym przypadku ciąg

(− 1,2,− 4).

 
Odpowiedź: (2,− 4,8) lub (− 1,2,− 4)

Wersja PDF