Zadanie nr 8243316
Trzy liczby, których suma jest równa 105, są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. Pierwsza z tych liczb jest jednocześnie pierwszym, druga szóstym, a trzecia dwudziestym szóstym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz te liczby.
Rozwiązanie
Z podanej informacji o sumie i o ciągu geometrycznym mamy układ równań.
![{ a + b + c = 105 b2 = ac](https://img.zadania.info/zad/8243316/HzadR0x.gif)
Dodatkowo mamy informację o ciągu arytmetycznym, z której otrzymujemy i
. Mamy więc równania
![{ a+ a + 5r + a + 25r = 105 (a+ 5r )2 = a(a+ 25r) { 3a+ 30r = 105 / : 3 2 2 2 { a + 1 0ar+ 25r = a + 25ar a+ 1 0r = 35 25r2 − 15ar = 0](https://img.zadania.info/zad/8243316/HzadR3x.gif)
Z drugiego równania mamy
![5r(5r − 3a) = 0.](https://img.zadania.info/zad/8243316/HzadR4x.gif)
Rozwiązanie odrzucamy, bo wtedy otrzymujemy ciąg stały. W takim razie
i z pierwszego równania mamy
![a + 2 ⋅3a = 35 7a = 3 5 ⇒ a = 5.](https://img.zadania.info/zad/8243316/HzadR7x.gif)
Stąd
![5r = 3a = 15 ⇒ r = 3.](https://img.zadania.info/zad/8243316/HzadR8x.gif)
Szukane liczby są więc równe:
![(a,b,c) = (5,a + 5r,a + 25r ) = (5,20,80).](https://img.zadania.info/zad/8243316/HzadR9x.gif)
Odpowiedź: