/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Trzywyrazowy

Zadanie nr 8482419

Dla jakich wartości x i y liczby 2 x + y,x oraz y + 2 są trzema kolejnymi wyrazami zarówno ciągu arytmetycznego, jak i geometrycznego?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Tak będzie, gdy

{ 2 2x = (x + y )+ (y + 2) x4 = (x + y)(y + 2) / ⋅4 { 2y = 2x 2 − x − 2 4x4 = (2x + 2y )(2y + 4)

Podstawiając teraz do drugiego równania mamy

4 2 2 4x = (2x + 2x − x − 2 )(2x − x− 2+ 4) 4x4 = (x + 2x2 − 2)(2x 2 − x + 2) = (2x2 + (x − 2))(2x 2 − (x − 2)) 4 4 2 4x = 4x − (x − 2) 2 (x − 2) = 0 ⇒ x = 2.

Stąd

y = 1(2x2 − x − 2) = 1-⋅4 = 2. 2 2

 
Odpowiedź: (x,y ) = (2,2)

Wersja PDF