Zadanie nr 8674133
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości.
Rozwiązanie
Szukamy trzech liczb tworzących ciąg geometryczny takich, że ciąg
jest arytmetyczny, a ciąg
jest geometryczny.
Sposób I
Ponieważ ciąg ma być arytmetyczny to
![a+ c = 2(b + 8) ⇒ c = 2b − a + 16 .](https://img.zadania.info/zad/8674133/HzadR4x.gif)
Uwzględniając informacje o ciągach geometrycznych otrzymujemy układ równań.
![{ b2 = ac 2 { (b+ 8) = a(c + 64) b2 = a(2b − a + 16) (b+ 8)2 = a(2b − a + 16 + 64) { 2 2 b = 2ab − a + 16a b2 + 16b + 64 = 2ab − a2 + 8 0a.](https://img.zadania.info/zad/8674133/HzadR5x.gif)
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić kwadraty) i mamy
![1 6b+ 64 = 64a / : 16 b = 4a− 4.](https://img.zadania.info/zad/8674133/HzadR6x.gif)
Podstawiamy to wyrażenie do pierwszego równania układu
![b 2 = 2ab − a2 + 16a 2 2 (4a − 4 ) = 2a(4a − 4) − a + 16a 1 6a2 − 32a+ 16 = 8a 2 − 8a − a2 + 16a 2 9a − 4 0a+ 16 = 0 / : 2 9 2 -a − 20a + 8 = 0 2 2 Δ = 40 0− 1 44 = 256 = 16 20 − 16 4 20 + 16 a = --------= -- ∨ a = --------= 4. 9 9 9](https://img.zadania.info/zad/8674133/HzadR7x.gif)
Mamy wtedy odpowiednio
![20- 9-∗16-44 100- b = 4a − 4 = − 9 , c = 2b − a + 1 6 = − 9 + 16 = 9 b = 4a − 4 = 1 2, c = 2b − a + 16 = 2 0+ 16 = 36.](https://img.zadania.info/zad/8674133/HzadR8x.gif)
Są zatem dwa ciągi spełniające warunki zadania: oraz
.
Sposób II
Dokładnie tak samo jak w I sposobie otrzymujemy układ równań
![( |{ 2(b + 8 ) = a+ c 2 | b = ac ( (b + 8)2 = a (c+ 6 4) ( |{ 2(b + 8 ) = a+ c b2 = ac |( 2 b + 16b + 6 4 = ac+ 64a](https://img.zadania.info/zad/8674133/HzadR11x.gif)
Odejmujemy od trzeciego równania drugie (żeby skrócić kwadraty) i mamy
![1 6b+ 64 = 64a / : 16 b = 4a− 4.](https://img.zadania.info/zad/8674133/HzadR12x.gif)
Podstawiamy to wyrażenie do pierwszego równania układu i mamy
![2(4a + 4 ) = a+ c 7a + 8 = c.](https://img.zadania.info/zad/8674133/HzadR13x.gif)
Podstawiamy teraz i
do drugiego równania układu.
![2 b = ac (4a − 4 )2 = a(7a + 8) 2 2 1 6a − 32a+ 16 = 7a + 8a 9a 2 − 4 0a+ 16 = 0.](https://img.zadania.info/zad/8674133/HzadR16x.gif)
Dalej postępujemy dokładnie tak samo jak w sposobie I.
Odpowiedź: lub