/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Trzywyrazowy

Zadanie nr 8767082

Suma wyrazów trzywyrazowego ciągu arytmetycznego (a,b,c) jest równa 36. Ciąg

(a− 1,b+ 2,c+ 12)

jest geometryczny. Oblicz a,b i c .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Skoro podane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, możemy je oznaczyć przez b− r,b,b + r . Z podanej sumy mamy więc

36 = (b − r)+ b+ (b+ r) = 3b ⇒ b = 1 2.

Zatem szukane liczby to 12 − r,12,12 + r .

Pozostało teraz skorzystać z drugiej informacji: jeżeli trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to kwadrat środkowej musi być równy iloczynowi pozostałych, czyli

2 (b + 2) = (a − 1)(c + 12) 142 = (11− r)(24+ r) 2 196 = 264 − 24r + 11r − r r2 + 13r− 68 = 0 Δ = 169 + 272 = 441 = 21 2 − 1 3− 2 1 − 34 − 13+ 21 8 r = ---------- = -----= − 17 ∨ r = ----------= --= 4. 2 2 2 2

Są zatem dwa takie ciągi

(2 9,12,− 5), (8 ,1 2,16).

 
Odpowiedź: (a,b,c) = (2 9,12,− 5) lub (a,b,c) = (8 ,12,16)

Wersja PDF