/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Trzywyrazowy

Zadanie nr 9792910

Suma trzech liczb będących kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego jest równa 52. Jeżeli do pierwszej liczby dodamy 2, do drugiej 12, a do trzeciej 6, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznacz ten ciąg.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Skoro liczby tworzą ciąg geometryczny to są postaci  2 a,aq,aq . Z podanej sumy mamy

 2 a+ aq+ aq = 52 a(1+ q+ q2) = 52 a = ----52----. 1 + q + q2

Z informacji o ciągu arytmetycznym wiemy, że liczby

(a + 2,aq + 12 ,aq2 + 6)

są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Mamy zatem

2(aq + 12) = (a + 2) + (aq2 + 6) 2 16 = a + aq − 2aq 16 = a(1 − 2q + q2).

Podstawiamy teraz  ---52--- a = 1+q +q2 .

 52 (1 + q + q2) 16 = ---------- (1− 2q + q2) / ⋅------------ 1 + q + q2 4 4+ 4q+ 4q2 = 13 − 26q + 1 3q2 9q2 − 30q + 9 = 0 / : 3 2 3q − 10q + 3 = 0 Δ = 1 02 − 4⋅9 = 64 q = 10-−-8-= 1- ∨ q = 10-+-8-= 3. 6 3 6

Ponieważ ciąg ma być rosnący, mamy q = 3 i wtedy

 5 2 52 a = ----------= ----------= 4 1+ 3+ 32 1 + 3 + 9

i otrzymujemy ciąg (4,12,36 ) .

Sposób II

Liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli b 2 = ac . Wiemy ponadto, że

a+ b+ c = 52

oraz liczby (a + 2,b + 12 ,c + 6) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, czyli

2 (b+ 1 2) = (a+ 2)+ (c+ 6 ) 2b + 1 6 = a+ c.

Podstawiając a+ c = 2b+ 16 w równości a + b + c = 52 mamy

2b + 16 + b = 5 2 ⇒ 3b = 36 ⇒ b = 12.

Zatem

a + c = 2b + 1 6 = 40.

Podstawiamy teraz c = 40 − a do równości ac = b 2 = 144 .

a (4 0− a) = 144 0 = a2 − 40a+ 144 Δ = 402 − 4 ⋅144 = 1600 − 576 = 1024 = 32 2 40 − 32 4 0+ 32 a = --------= 4 ∨ a = -------- = 36 . 2 2

Ponieważ ciąg ma być rosnący musi być a = 4 i mamy wtedy c = 40− a = 36 .  
Odpowiedź: (4,12,3 6)

Wersja PDF
spinner