Zadanie nr 9792910
Suma trzech liczb będących kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego jest równa 52. Jeżeli do pierwszej liczby dodamy 2, do drugiej 12, a do trzeciej 6, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznacz ten ciąg.
Rozwiązanie
Sposób I
Skoro liczby tworzą ciąg geometryczny to są postaci . Z podanej sumy mamy
![2 a+ aq+ aq = 52 a(1+ q+ q2) = 52 a = ----52----. 1 + q + q2](https://img.zadania.info/zad/9792910/HzadR1x.gif)
Z informacji o ciągu arytmetycznym wiemy, że liczby
![(a + 2,aq + 12 ,aq2 + 6)](https://img.zadania.info/zad/9792910/HzadR2x.gif)
są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Mamy zatem
![2(aq + 12) = (a + 2) + (aq2 + 6) 2 16 = a + aq − 2aq 16 = a(1 − 2q + q2).](https://img.zadania.info/zad/9792910/HzadR3x.gif)
Podstawiamy teraz .
![52 (1 + q + q2) 16 = ---------- (1− 2q + q2) / ⋅------------ 1 + q + q2 4 4+ 4q+ 4q2 = 13 − 26q + 1 3q2 9q2 − 30q + 9 = 0 / : 3 2 3q − 10q + 3 = 0 Δ = 1 02 − 4⋅9 = 64 q = 10-−-8-= 1- ∨ q = 10-+-8-= 3. 6 3 6](https://img.zadania.info/zad/9792910/HzadR5x.gif)
Ponieważ ciąg ma być rosnący, mamy i wtedy
![5 2 52 a = ----------= ----------= 4 1+ 3+ 32 1 + 3 + 9](https://img.zadania.info/zad/9792910/HzadR7x.gif)
i otrzymujemy ciąg .
Sposób II
Liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli
. Wiemy ponadto, że
![a+ b+ c = 52](https://img.zadania.info/zad/9792910/HzadR11x.gif)
oraz liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, czyli
![2 (b+ 1 2) = (a+ 2)+ (c+ 6 ) 2b + 1 6 = a+ c.](https://img.zadania.info/zad/9792910/HzadR13x.gif)
Podstawiając w równości
mamy
![2b + 16 + b = 5 2 ⇒ 3b = 36 ⇒ b = 12.](https://img.zadania.info/zad/9792910/HzadR16x.gif)
Zatem
![a + c = 2b + 1 6 = 40.](https://img.zadania.info/zad/9792910/HzadR17x.gif)
Podstawiamy teraz do równości
.
![a (4 0− a) = 144 0 = a2 − 40a+ 144 Δ = 402 − 4 ⋅144 = 1600 − 576 = 1024 = 32 2 40 − 32 4 0+ 32 a = --------= 4 ∨ a = -------- = 36 . 2 2](https://img.zadania.info/zad/9792910/HzadR20x.gif)
Ponieważ ciąg ma być rosnący musi być i mamy wtedy
.
Odpowiedź: