/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Różne

Zadanie nr 1133773

Ciąg (an ) jest geometryczny, a ciąg (bn) jest arytmetyczny. Pierwszy wyraz a1 ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego (bn) . Wyrazy ciągu (an) są liczbami całkowitymi, a suma dwóch początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 28. Natomiast pierwszy wyraz b 1 ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego (an) . Suma siedmiu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego (bn ) jest równa 126. Wyznacz te ciągi.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Spróbujmy zapisać podane informacje

( ||| a 1 = r { b 1 = q | ||( 2 8 = a1 + a2 = a1 + a1q = r + rb1 1 26 = b1 + b2 + ⋅⋅⋅+ b 7 = 2b1+2-6r⋅7 = 7b 1 + 2 1r / : 7

Mamy stąd natychmiast

{ 28 = r(1 + b1) 18 = b1 + 3r.

Podstawiamy teraz b = 18 − 3r 1 z drugiego równania do pierwszego.

28 = r(1 + b1) = r ⋅(1 + 18 − 3r) = r ⋅(19 − 3r) 2 28 = 1 9r− 3r 3r2 − 19r+ 28 = 0 Δ = 361 − 336 = 25 = 52 19 − 5 7 19 + 5 r = -------= -- ∨ r = -------= 4. 6 3 6

Łatwo sprawdzić, że w pierwszym przypadku nie wszystkie wyrazy ciągu (an) są liczbami całkowitymi, więc musi być r = 4 . Wtedy

28 1+ b1 = ---= 7 ⇒ b1 = 6 r

oraz

n− 1 n−1 an = a1q = 4 ⋅6 bn = b1 + (n − 1)r = 6+ 4 (n− 1) = 4n + 2.

 
Odpowiedź: a = 4 ⋅6n− 1 n , b = 4n + 2 n , dla n ∈ N .

Wersja PDF