/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Różne

Zadanie nr 3321019

Ciąg (an ) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 , jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto a1 = 675 i a22 = 54a23 + 15a21 . Ciąg (bn) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 , jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu (an) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (bn) . Ponadto a 3 = b4 . Oblicz b1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Spróbujmy najpierw rozszyfrować ciąg geometryczny (an) . Wiemy, że

a 22 = 5a23 + 1a 21 4 5 21 5- 22 1- 20 20 a1q = 4a1q + 5 a1q / : a1q 5 1 q = -q2 + -- / ⋅5 4 5 ( ) 25-2 5- 2 0 = 4 q − 5q + 1 = 2 q− 1 .

Stąd 2 q = 5 i

( 2 )n− 1 an = a1qn−1 = 67 5⋅ -- . 5

W szczególności

( ) 2 b = a = 675 ⋅ 2- = 10 8. 4 3 5

Suma wszystkich wyrazów ciągu (an) jest równa

a1 675 675 S = -----= ----2-= -3--= 1125 . 1− q 1 − 5 5

Z drugiej strony, ta suma jest równa

1125 = b1 + b2 + ...+ b25 = 2b1-+-24r-⋅25 / : 25 2 45 = b1 + 12r.

W połączeniu z obliczoną wcześniej wartością b 4 = 108 otrzymujemy stąd

{ 45 = b 1 + 12r 108 = b4 = b1 + 3r.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

− 63 = 9r ⇒ r = − 7.

Stąd

b1 = 108 − 3r = 1 08+ 21 = 129 .

 
Odpowiedź: b1 = 12 9

Wersja PDF