/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Różne

Zadanie nr 4948645

Ciąg (an ) jest arytmetyczny, a ciąg (bn ) jest geometryczny. Pierwszy wyraz a1 ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego (bn) . Wyrazy ciągu (an) są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 124. Natomiast pierwszy wyraz b 1 ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego (an ) . Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego (bn) jest równa 18. Wyznacz te ciągi.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Spróbujmy zapisać podane informacje

( ||| a1 = q { 1 24 = a1 + a2 + ⋅⋅⋅+ a 8 = 2a1+2-7r⋅8 = 8a 1 + 2 8r / : 4 | ||( b1 = r 1 8 = b1 + b2 = b1 + b1q = r+ ra1.

Mamy stąd natychmiast

{ 3 1 = 2a1 + 7r 1 8 = r+ ra1 = r(1+ a1).

Podstawiamy teraz a = 31−7r 1 2 z pierwszego równania do drugiego.

( ) 3 1− 7r 33− 7r 1 8 = r(1+ a1) = r⋅ 1 + -------- = r⋅ -------- / ⋅2 2 2 3 6 = 33r − 7r2 2 7r − 33r + 36 = 0 Δ = 10 89− 1008 = 8 1 = 92 r = 33-−-9-= 24-= 12- ∨ r = 33+--9-= 3. 14 14 7 14

Łatwo sprawdzić, że pierwszym przypadku nie wszystkie wyrazy ciągu (an) są liczbami całkowitymi, więc musi być r = 3 . Wtedy

1+ a = 18-= 6 ⇒ a = 5 1 r 1

oraz

an = a1 + (n − 1)r = 5+ 3(n − 1) = 3n + 2 bn = b1qn−1 = 3 ⋅5n− 1.

 
Odpowiedź: an = 3n + 2 , n− 1 bn = 3⋅5 , dla n ∈ N .

Wersja PDF