/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Różne

Zadanie nr 5380740

W nieskończonym rosnącym ciągu geometrycznym (an) o wyrazach dodatnich, określonym dla n ≥ 1 , stosunek średniej geometrycznej trzech pierwszych wyrazów do średniej arytmetycznej tych wyrazów jest równy 1351 , a suma czterech pierwszych wyrazów tego ciągu jest równa 468. Wyrazy a 1 i a3 ciągu (an) , są odpowiednio pierwszym i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego (bn) . Oblicz sumę 10 początkowych wyrazów ciągu (bn) .
Uwaga: średnia geometryczna liczb a,b,c jest równa √ ---- 3 abc .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy przez q iloraz ciągu geometrycznego (an) , to wiemy, że

√ ------- ∘3 -----------2- 1-5 = --a-1a-2a3= 3---a1 ⋅a-1q-⋅a1q- / : 3 3 1 a1+a-2+a-3 a1 + a1q+ a1q2 3∘ ----- 3a 3q3 -5- = --------1----- = -----a1q------ = ----q----- 3 1 a1(1 + q + q2) a1(1 + q + q2) 1+ q + q 2 5 + 5q + 5q2 = 31q 5q2 − 26q + 5 = 0 2 2 Δ = 26 − 100 = 576 = 24 26−--24- 1- 26+--24- q = 10 = 5 ∨ q = 10 = 5.

Ponieważ ciąg ma być rosnący i dodatni mamy stąd q = 5 i z podanej sumy 4 pierwszych wyrazów otrzymujemy

2 3 468 = a 1+ a1q + a1q + a 1q = a1+ 5a 1+ 25a1 + 125a1 = 156a1 ⇒ a1 = 3.

Wiemy, że w ciągu arytmetycznym (bn) mamy

b1 = a1 = 3

oraz

2 b3 = a3 = a1q = 75 b1 + 2r = 75 ⇒ 2r = 75 − b1 = 75− 3 = 72 ⇒ r = 36.

Pozostało teraz obliczyć sumę 10 początkowych wyrazów ciągu (bn) .

2b + 9r 6 + 324 S10 = --1-----⋅1 0 = --------⋅10 = 1650. 2 2

 
Odpowiedź: 1650

Wersja PDF