/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Różne

Zadanie nr 5558016

W ciągu arytmetycznym wyraz pierwszy jest równy 1, a ostatni − 15 . Oblicz sumę wyrazów tego ciągu, jeśli wiadomo że drugi, trzeci i szósty są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru na n –ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy

a = 1 1 a2 = a1 + r = 1 + r a = a + 2r = 1 + 2r 3 1 a6 = a1 + 5r = 1 + 5r.

Wiemy, że a2,a3 i a6 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, zatem

a 23 = a2a6 2 (1 + 2r) = (1+ r)(1 + 5r) 1 + 4r + 4r2 = 1+ 6r + 5r2 0 = r2 + 2r = r(r+ 2 ) r = 0 ∨ r = − 2.

Gdyby r = 0 to ciąg byłby stały i ostatni wyraz nie mógłby być równy − 15 . Zatem r = − 2 . Obliczmy jaki jest numer ostatniego wyrazu.

− 15 = an = a1 + (n − 1 )r = 1− 2(n − 1) 2(n − 1) = 1 6 n − 1 = 8 ⇒ n = 9.

Liczymy sumę wyrazów ciągu

a + a 1− 15 S9 = -1----9⋅9 = -------⋅9 = − 63. 2 2

 
Odpowiedź: − 63

Wersja PDF