/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Różne

Zadanie nr 6078534

Rosnący ciąg arytmetyczny (an ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Suma pierwszych dwunastu wyrazów tego ciągu jest równa 240. Wyrazy a3 , a6 , a 15 tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na n –ty wyraz ciągu arytmetycznego (an) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Z podanej sumy pierwszych 12 wyrazów mamy równanie

 2a + 11r --1-------⋅12 = 24 0 / : 6 2 2a 1 + 1 1r = 40.

Druga informacja daje nam natomiast

 2 a6 = a 3a15 2 (a1 + 5r) = (a1 + 2r)(a1 + 14r) a21 + 10a1r + 25r2 = a21 + 1 6a1r+ 2 8r2 2 0 = 6a1r+ 3r / : 6 ( 1 ) 0 = r a1 + -r . 2

Jeżeli r = 0 to dany ciąg jest stały, co jest sprzeczne z założeniem, więc a1 = − 12r . Podstawiamy to wyrażenie do uzyskanej na samym początku równości 2a1 + 11r = 40 .

−r + 11r = 4 0 ⇒ 10r = 40 ⇒ r = 4.

Zatem a1 = − 12r = −2 i mamy

an = a 1 + (n − 1 )r = − 2+ 4 (n− 1) = − 6 + 4n.

 
Odpowiedź: an = 4n − 6 dla n ≥ 1

Wersja PDF
spinner