/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Różne

Zadanie nr 6403470

Dany jest ciąg (an) o wyrazie ogólnym 5−-3n- an = 7 , dla n = 1,2,3,... .

  • Sprawdź, czy ciąg (an) jest arytmetyczny.
  • Oblicz, dla jakiej wartości x liczby a ,x2 + 2,a 4 11 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Musimy sprawdzić czy różnica a − a n+ 1 n jest stała (nie zależy do n ). Liczymy
    5− 3(n + 1) 5 − 3n 3n − 3n− 3 3 r = an+1 − an = -------------− ------- = ------------ = − -. 7 7 7 7

    Zatem ciąg an jest ciągiem arytmetycznym (o różnicy r = − 37 ).

  • Ponieważ a1 = 27 , mamy
    a = a + 3r = 2− 9-= − 7-= − 1 4 1 7 7 7 2 30 28 a11 = a1 + 10r = -− ---= − ---= −4 . 7 7 7

    Zatem pytanie brzmi kiedy liczby 2 − 1,x + 2,− 4 tworzą ciąg geometryczny. Tak będzie, gdy kwadrat środkowej będzie iloczynem pozostałych.

    (x2 + 2)2 = 4 x2 + 2 = 2 2 x = 0 ⇒ x = 0.

    Opuszczając kwadrat w drugiej linijce skorzystaliśmy z tego, że x2 + 2 > 0 .  
    Odpowiedź: x = 0

Wersja PDF