Zadanie nr 6725887
Ciąg określony jest wzorem .
- Trzeci i piąty wyraz ciągu są odpowiednio równe szóstemu i dziewiętnastemu wyrazowi ciągu arytmetycznego . Ile początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego należy dodać, aby otrzymana suma była nie mniejsza od 483?
- Piąty oraz trzeci wyraz ciągu są odpowiednio równe pierwszemu i drugiemu wyrazowi nieskończonego ciągu geometrycznego . Który wyraz ciągu jest równy ?
Rozwiązanie
- Ponieważ i mamy
Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić ) mamy
Zatem . Na mocy wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego mamy
Pozostało rozwiązać nierówność
Ponieważ , mamy stąd .
Odpowiedź: Co najmniej 21 wyrazów. - Ponieważ i , mamy
Dzieląc drugą równość przez pierwszą mamy
Mamy zatem równanie
Odpowiedź: Czwarty wyraz.