/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Różne

Zadanie nr 7267497

Rosnący ciąg arytmetyczny (an ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa 10. Wyrazy a3 , a5 , a13 tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na n –ty wyraz ciągu arytmetycznego (an) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Z podanej sumy pierwszych 5 wyrazów mamy równanie

2a + 4r ---1-----⋅5 = 10 / : 5 2 a1 + 2r = 2.

Druga informacja daje nam natomiast

2 a5 = a3a13 2 (a1 + 4r) = (a1 + 2r)(a1 + 12r) a21 + 8a1r+ 16r2 = a21 + 14a1r + 24r2 2 0 = 6a1r + 8r / : 6 ( 4 ) 0 = r a1 + --r . 3

Jeżeli r = 0 to dany ciąg jest stały, co jest sprzeczne z założeniem, więc a1 = − 43r . Podstawiamy to wyrażenie do uzyskanej na samym początku równości a1 + 2r = 2 .

− 4r + 2r = 2 ⇒ 2r = 2 ⇒ r = 3. 3 3

Zatem a1 = − 43r = −4 i mamy

an = a 1 + (n − 1 )r = − 4+ 3 (n− 1) = − 7 + 3n.

 
Odpowiedź: an = 3n − 7 dla n ≥ 1

Wersja PDF