Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9827823

Oblicz miary kątów trójkąta, w którym długości boków tworzą ciąg geometryczny, a miary kątów tworzą ciąg arytmetyczny.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy długości boków trójkąta przez  2 a,aq,aq , a miary kątów przez α − r,α,α + r , gdzie r ≥ 0 i q ≥ 1 . Korzystając z tego, że w trójkącie naprzeciwko większego kąta leży dłuższy bok, kąty α − r,α ,α+ r leżą naprzeciwko odpowiednio boków a,aq,aq 2 .


PIC


Ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi 18 0∘ mamy

α − r+ α + α + r = 180∘ ⇒ α = 60∘,

czyli kąty mają miary 60 ∘ − r,60 ∘,60∘ + r . Piszemy teraz twierdzenie cosinusów dla kąta 60∘ i obliczamy q .

(aq)2 = a 2 + (aq2)2 − 2 ⋅a⋅ aq2cos 60∘ / : a2 2 4 2 q = 1 + q − q q4 − 2q2 + 1 = 0 2 2 2 (q − 1) = 0 ⇐ ⇒ q = 1 ⇒ q = 1 .

Zatem trójkąt jest równoboczny.  
Odpowiedź: 60∘,6 0∘,60∘

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!