/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Różne

Zadanie nr 9843566

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (an) , dla n ≥ 1 taki, że a4 = 1 9 . Wyrazy a1, a11 oraz a51 tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na n –ty wyraz ciągu (an ) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wiemy, że an = a1 + (n − 1)r dla pewnej liczby r ∈ R . Wiemy też, że liczby a1,a11 i a51 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, więc

a211 = a1a51 2 (a1 + 10r) = a1(a1 + 50r) a21 + 20a1r + 100r2 = a21 + 5 0a1r 2 100r = 30a1r / : 100 r(r− 0,3a1) = 0.

Ponieważ z założenia ciąg (a ) n jest rosnący, mamy stąd r = 0,3a 1 . Pozostało skorzystać z warunku a4 = 1 9 . Mamy zatem

19 19 = a4 = a1 + 3r = a1 + 0 ,9a 1 = 1,9a1 ⇒ a1 = ----= 1 0. 1,9

Stąd r = 0,3a1 = 3 i an = 10 + 3(n − 1) = 3n+ 7 .  
Odpowiedź: an = 3n + 7 dla n ≥ 1

Wersja PDF