/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Czterowyrazowy

Zadanie nr 1880141

Między liczby − 5 i 49 wstaw dwie liczby tak, aby trzy pierwsze tworzyły ciąg arytmetyczny, a trzy ostatnie ciąg geometryczny.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Powiedzmy, że wstawione liczby to x i y . Z własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego otrzymujemy układ równań

{ 2x = − 5 + y y2 = x ⋅49

Podstawiamy y = 2x + 5 z pierwszego równania do drugiego.

2 (2x + 5) = 49x 4x2 + 20x + 25 = 49x 2 4x − 29x + 25 = 0 Δ = 841− 400 = 44 1 = 212 x = 2-9−-2-1 = 1 ∨ x = 29-+-21-= 25-. 8 8 4

Wtedy y = 2x+ 5 = 7 i y = 2x+ 5 = 352 odpowiednio.

Sposób II

Oznaczmy pierwsze trzy liczby przez a = − 5, b = − 5+ r, c = − 5 + 2r , a trzy ostatnie przez

b = − 5 + r, c = (− 5+ r)q, d = (−5 + r)q2.

W szczególności

{ − 5 + 2r = (− 5 + r)q 2 (− 5 + r)q = 49 .

Jeżeli r = 5 , to drugie równanie przyjmuje postać 0 = 49 , co oczywiście nie jest możliwe. Zatem r ⁄= 5 i z pierwszego równania możemy wyliczyć q = −5+2r- − 5+r . Podstawiamy tę wartość do drugiego równania.

(− 5 + r)q2 = 49 2 (− 5 + r)⋅ (−-5+--2r)-= 49 /⋅ (−5 + r) (− 5 + r)2 2 (− 5 + 2r) = 49(− 5 + r) 25 − 20r + 4r2 = − 24 5+ 49r 4r2 − 69r + 270 = 0 2 2 Δ = 69 − 16 ⋅270 = 4 41 = 21 6-9−--21 4-8 69+--21- 45- r = 8 = 8 = 6 ∨ r = 8 = 4 .

Mamy wtedy odpowiednio

b = − 5 + r = 1 ∧ c = −5 + 2r = − 5+ 1 2 = 7 b = − 5 + r = − 5 + 45-= 25- ∧ c = − 5+ 2r = − 5 + 45-= 35-. 4 4 2 2

 
Odpowiedź: Należy wstawić liczby 1 i 7 lub 254 i 352-

Wersja PDF