Zadanie nr 1880141
Między liczby i 49 wstaw dwie liczby tak, aby trzy pierwsze tworzyły ciąg arytmetyczny, a trzy ostatnie ciąg geometryczny.
Rozwiązanie
Sposób I
Powiedzmy, że wstawione liczby to i
. Z własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego otrzymujemy układ równań

Podstawiamy z pierwszego równania do drugiego.

Wtedy i
odpowiednio.
Sposób II
Oznaczmy pierwsze trzy liczby przez , a trzy ostatnie przez

W szczególności

Jeżeli , to drugie równanie przyjmuje postać
, co oczywiście nie jest możliwe. Zatem
i z pierwszego równania możemy wyliczyć
. Podstawiamy tę wartość do drugiego równania.

Mamy wtedy odpowiednio

Odpowiedź: Należy wstawić liczby 1 i 7 lub i