Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2147450

Cztery liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli od pierwszej z nich odejmiemy 2, od drugiej 3, od trzeciej 9, a od czwartej 25, to otrzymane różnice utworzą ciąg arytmetyczny. Znajdź te liczby.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy podane liczby przez  2 3 a,aq,aq ,aq . Wiemy więc, że ciąg a − 2,aq − 3,aq 2 − 9,aq 3 − 2 5 jest arytmetyczny. Zatem zarówno druga jak i trzecia liczba jest średnią arytmetyczną sąsiednich. Daje nam to układ równań.

{ 2(aq− 3) = a − 2+ aq2 − 9 2 3 2(aq − 9) = aq − 3 + aq − 25 { 2 2aq = a + aq − 5 2aq2 = aq + aq3 − 10

Musimy jakoś rozwiązać ten układ równań. Widać, że ciężko będzie wyeliminować q , pokombinujmy zatem z a . Można po prostu wyliczyć a z pierwszego równania i podstawić do drugiego, prościej jest jednak zauważyć, że współczynniki przy a są w obu równaniach prawie takie same – jedyna różnica, to, że w drugim równaniu są przemnożone dodatkowo przez q . Odejmijmy zatem od drugiego równania pierwsze przemnożone przez q .

0 = − 10 + 5q ⇒ q = 2.

Z pierwszego równania mamy więc

4a = a+ 4a − 5 ⇒ a = 5.

 
Odpowiedź: 5,10,20,40

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!