Zadanie nr 2147450

Cztery liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli od pierwszej z nich odejmiemy 2, od drugiej 3, od trzeciej 9, a od czwartej 25, to otrzymane różnice utworzą ciąg arytmetyczny. Znajdź te liczby.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy podane liczby przez 2 3 a,aq,aq ,aq . Wiemy więc, że ciąg a − 2,aq − 3,aq 2 − 9,aq 3 − 2 5 jest arytmetyczny. Zatem zarówno druga jak i trzecia liczba jest średnią arytmetyczną sąsiednich. Daje nam to układ równań.

{ 2(aq− 3) = a − 2+ aq2 − 9 2 3 2(aq − 9) = aq − 3 + aq − 25 { 2 2aq = a + aq − 5 2aq2 = aq + aq3 − 10

Musimy jakoś rozwiązać ten układ równań. Widać, że ciężko będzie wyeliminować , pokombinujmy zatem z . Można po prostu wyliczyć z pierwszego równania i podstawić do drugiego, prościej jest jednak zauważyć, że współczynniki przy są w obu równaniach prawie takie same – jedyna różnica, to, że w drugim równaniu są przemnożone dodatkowo przez . Odejmijmy zatem od drugiego równania pierwsze przemnożone przez .