/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Czterowyrazowy

Zadanie nr 4357833

Dane są 4 liczby, z których 3 pierwsze tworzą ciąg geometryczny, a 3 ostatnie tworzą ciąg arytmetyczny. Suma pierwszej i czwartej wynosi 14, a suma drugiej i trzeciej wynosi 12. Wyznacz te 4 liczby.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy szukane liczby przez a ,b ,c i d .

Sposób I

Pierwsze trzy tworzą ciąg geometryczny, więc b2 = ac , ostatnie trzy arytmetyczny, czyli 2c = b+ d . Otrzymujemy układ równań

( 2 ||| b = ac { 2c = b+ d | a + d = 14 ||( b + c = 12

Z ostatniego równania obliczamy c = 12 − b a z przedostatniego d = 14− a i podstawiamy do dwóch pierwszych równań

{ b2 = a(12 − b) 2(12− b) = b + (14 − a) { 2 b = a(12 − b) 24− 2b = b + 14 − a

Z drugiego równania mamy a = 3b − 10 . Wstawiamy to do pierwszego równania.

2 b = (3b − 10)(12 − b) b2 = − 3b2 + 46b − 120 2 4b − 46b+ 120 = 0 / : 2 2b2 − 23b+ 60 = 0.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe,

Δ = 529− 480 = 4 9 = 72 b = 23−--7-= 4 , b = 23-+-7-= 15- 1 4 2 4 2

Jeżeli b = 4 , to

(a,b,c,d) = (3b − 10 ,b ,12− b,14− a) = (2,4,8,12 ).

Jeżeli natomiast b = 125 , to

( ) 25-15- 9- 3- (a,b ,c,d ) = (3b− 10,b,12 − b,14 − a) = 2 , 2 ,2, 2 .

Sposób II

Jeżeli oznaczmy przez q iloraz ciągu geometrycznego, to wiemy, że b = aq i c = aq 2 . Ponadto

2c = b + d ⇒ d = 2c− b = 2aq2 − aq.

Mamy zatem układ równań

{ 14 = a + d = a + 2aq 2 − aq = a(1+ 2q2 − q) 12 = b + c = aq + aq2 = a (q+ q 2).

Dzielimy teraz pierwsze równanie stronami przez drugie (możemy to zrobić bo w obu równaniach obie strony są niezerowe – w pierwszym równe 14, a w drugim 12).

14 1 + 2q2 − q ---= --------2--- 12 q+ q 7(q+ q2) = 6(1 + 2q2 − q) 0 = 5q2 − 13q + 6.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe

Δ = 169 − 120 = 49 13 − 7 6 3 13 + 7 q1 = -------= ---= -, q 2 = -------= 2. 10 10 5 10

Mamy wtedy

12 12 12 25 a1 = ------ = -------= ---= --, q + q2 35 + 295 2245 2 12 1 2 a2 = -----2 = ------= 2 q + q 2 + 4

odpowiednio. W pierwszym przypadku otrzymujemy ciąg

( ) (a ,b,c,d) = (a,aq,aq2,2c − b) = 2-5, 15-, 9, 3 , 2 2 2 2

a w drugim przypadku

(a,b,c,d) = (a,aq ,aq2,2c− b) = (2,4,8,12).

 
Odpowiedź: (2,4,8,1 2) lub ( ) 25, 15, 9, 3 2 2 2 2

Wersja PDF