Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4357833

Dane są 4 liczby, z których 3 pierwsze tworzą ciąg geometryczny, a 3 ostatnie tworzą ciąg arytmetyczny. Suma pierwszej i czwartej wynosi 14, a suma drugiej i trzeciej wynosi 12. Znajdź te liczby.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy szukane liczby przez a,b,c i d . Pierwsze trzy tworzą ciąg geometryczny, więc b2 = ac , ostatnie trzy arytmetyczny, czyli 2c = b + d . Otrzymujemy układ równań

( || b2 = ac |{ 2c = b + d ||| a+ d = 14 ( b+ c = 12

Z ostatniego równania wyliczamy c = 12 − b a z przedostaniego d = 14− a i podstawiamy do dwóch pierwszych równań

{ b2 = a(12 − b) 2(12− b) = b + (14 − a) { b2 = a(12 − b) 24− 2b = b + 14 − a

Z drugiego równania mamy a = 3b − 10 . Wstawiamy to do pierwszego równania.

 2 b = (3b− 10)(12 − b) b2 = − 3b2 + 46b − 120 2 4b − 46b+ 120 = 0 2b2 − 23b+ 60 = 0

Dalej już łatwo,  2 Δ = 529 − 480 = 49 = 7 ,

 2 3− 7 b1 = ------- = 4 4 b = 2-3+--7 = 1-5 1 4 2

b = 4 daje a = 2,c = 8 ,d = 12 a b = 152 daje a = 252 ,c = 92 ,d = 32 .  
Odpowiedź: 2,4,8 ,1 2 lub 25, 15, 9, 3 2 2 2 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!