/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Czterowyrazowy

Zadanie nr 6800562

Liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, zaś liczby b ,c,d są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Suma pierwszej trójki liczb wynosi 12, a drugiej 19. Wyznacz liczby a,b,c,d .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Mamy równania

( ||| 2b = a+ c { c2 = bd | ||( a + b + c = 1 2 b + c + d = 19.

Z pierwszego równania wyliczamy a + c = 2b i podstawiamy do trzeciego równania

2b + b = 1 2 ⇒ b = 4.

Pozostaje nam więc układ

( | 8 = a+ c { 2 | c = 4d ( c + d = 15.

Podstawiając z trzeciego równania d = 15− c do drugiego mamy

2 c = 60 − 4c c2 + 4c− 6 0 = 0 2 Δ = 16+ 240 = 25 6 = 16 c1 = − 10, c2 = 6 .

Mamy wtedy odpowiednio

d1 = 15 − c1 = 25 a1 = 8− c1 = 18 d2 = 15 − c2 = 9 a2 = 8− c2 = 2.

Sposób II

Wiemy, że c = bq i 2 d = bq oraz

2b = a + c ⇒ a = 2b − c = 2b − bq.

Mamy zatem układ równań

{ a + b + c = 2b − bq + b + bq = 3b = 12 b + c + d = b + bq + bq 2 = 19.

Z pierwszego równania mamy natychmiast b = 4 i drugie równanie przyjmuje postać

4+ 4q+ 4q2 = 19 2 4q + 4q− 15 = 0 2 15 q + q − ---= 0 4 Δ = 1 + 15 = 16 −-1-−-4 5- −-1+--4 3- q1 = 2 = − 2, q2 = 2 = 2 .

Stąd mamy odpowiednio

a 1 = 2b− bq1 = 8 + 10 = 18, c1 = bq 1 = − 10, d 1 = bq21 = 25 2 a 2 = 2b− bq2 = 8 − 6 = 2 , c2 = bq 2 = 6, d 2 = bq2 = 9.

 
Odpowiedź: (a,b,c,d) = (1 8,4,− 10,25) lub (a,b,c,d) = (2,4,6,9)

Wersja PDF