/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Czterowyrazowy

Zadanie nr 6800562

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, zaś liczby b ,c,d są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Suma pierwszej trójki liczb wynosi 12, a drugiej 19. Wyznacz liczby a,b,c,d .

Rozwiązanie

Sposób I

Mamy równania

( || 2b = a+ c |{ c2 = bd ||| a + b + c = 12 ( b + c + d = 1 9.

Z pierwszego równania wyliczamy a+ c = 2b i podstawiamy do trzeciego równania

2b + b = 1 2 ⇒ b = 4.

Pozostaje nam więc układ

( |{ 8 = a+ c c2 = 4d |( c + d = 1 5.

Podstawiając z trzeciego równania d = 1 5− c do drugiego mamy

c2 = 60 − 4c 2 c + 4c− 6 0 = 0 Δ = 16+ 240 = 25 6 = 162 c1 = − 10, c2 = 6 .

Mamy wtedy odpowiednio

d = 15 − c = 25 a = 8− c = 18 1 1 1 1 d2 = 15 − c2 = 9 a2 = 8− c2 = 2.

Sposób II

Wiemy, że c = bq i d = bq2 oraz

2b = a + c ⇒ a = 2b − c = 2b − bq.

Mamy zatem układ równań

{ a + b + c = 2b − bq + b + bq = 3b = 12 b + c+ d = b + bq + bq2 = 1 9.

Z pierwszego równania mamy natychmiast b = 4 i drugie równanie przyjmuje postać

2 4+ 4q+ 4q = 19 4q2 + 4q− 15 = 0 2 15- q + q − 4 = 0 Δ = 1 + 15 = 16 q = −-1-−-4 = − 5, q = −-1+--4 = 3-. 1 2 2 2 2 2

Stąd mamy odpowiednio

a 1 = 2b− bq1 = 8 + 10 = 18, c1 = bq 1 = − 10, d 1 = bq21 = 25 2 a 2 = 2b− bq2 = 8 − 6 = 2 , c2 = bq 2 = 6, d 2 = bq2 = 9.

 
Odpowiedź: (a,b,c,d) = (1 8,4,− 10,25) lub (a,b,c,d) = (2,4,6,9)

Wersja PDF