/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Czterowyrazowy

Zadanie nr 8315231

Czterowyrazowy ciąg (a,b,c,d) jest rosnący i arytmetyczny. Kwadrat największego wyrazu tego ciągu jest równy podwojonej sumie kwadratów pozostałych wyrazów tego ciągu. Ponadto ciąg (a + 75,b,c) jest geometryczny. Oblicz wyrazy ciągu (a,b,c,d) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy przez r różnicę danego ciągu, to b = a+ r , c = a + 2r oraz d = a+ 3r . Pozostałe podane informacje prowadzą do układu równań

{ d2 = 2a2 + 2b2 + 2c2 2 { b = (a + 75)c (a+ 3r)2 = 2a2 + 2(a + r)2 + 2(a+ 2r)2 (a+ r)2 = (a+ 75)⋅ (a+ 2r ) { 2 2 2 2 2 2 2 a + 6ar+ 9r = 2a + 2a + 4ar + 2r + 2a + 8ar+ 8r a2 + 2ar+ r2 = a2 + 2ar+ 75a+ 150r. { 0 = 5a2 + 6ar + r2 2 r = 75a + 150r .

Drugie równanie na chwilę zostawmy tak jak jest, a pierwsze podzielmy stronami przez  2 r – możemy to zrobić, bo wiemy, że ciąg jest rosnący, czyli r > 0 .

 2 2 2 0 = 5a + 6ar + r / : (2r ) (a-)2 a- 0 = 5⋅ r + 6⋅ r + 1.

Podstawiamy teraz t = a r .

 2 0 = 5t + 6t + 1 Δ = 36− 20 = 16 − 6− 4 − 6 + 4 1 t = ------- = − 1 lub t = ------- = − -- 10 10 5

Zatem a = −r lub  1 a = − 5r . Załóżmy najpierw, że a = −r . Podstawiamy to wyrażenie do drugiego równania układu.

 2 2 2 0 = r − 7 5a− 150r = r + 75r − 150r = r − 75r 0 = r(r− 7 5).

Interesują nas tylko dodatnie wartości r (bo ciąg ma być rosnący), więc mamy stąd r = 75 , a = −r = − 75 i

(a,b,c,d) = (− 75,0,75,1 50).

Na pierwszy rzut oka może to wyglądać na poprawne rozwiązanie, ale tak nie jest, bo dla powyższego ciągu mamy ciąg (a+ 7 5,b,c) = (0,0,75) , który nie jest geometryczny.

Pozostał jeszcze do rozpatrzenia drugi przypadek, gdy a = − 1r 5 . Tak jak poprzednio podstawiamy to wyrażenie do drugiego równania układu.

 2 2 2 0 = r − 75a − 1 50r = r + 15r− 150r = r − 135r = r(r − 13 5)

Ponieważ interesują nas tylko dodatnie wartości r , mamy r = 135 i a = − 1r = − 27 5 . Wtedy

(a,b,c,d) = (− 27,1 08,243,378 ).

 
Odpowiedź: (a,b,c,d) = (− 2 7,108,243,3 78)

Wersja PDF
spinner