Zadanie nr 8315231
Czterowyrazowy ciąg jest rosnący i arytmetyczny. Kwadrat największego wyrazu tego ciągu jest równy podwojonej sumie kwadratów pozostałych wyrazów tego ciągu. Ponadto ciąg jest geometryczny. Oblicz wyrazy ciągu .
Rozwiązanie
Jeżeli oznaczymy przez różnicę danego ciągu, to , oraz . Pozostałe podane informacje prowadzą do układu równań
Drugie równanie na chwilę zostawmy tak jak jest, a pierwsze podzielmy stronami przez – możemy to zrobić, bo wiemy, że ciąg jest rosnący, czyli .
Podstawiamy teraz .
Zatem lub . Załóżmy najpierw, że . Podstawiamy to wyrażenie do drugiego równania układu.
Interesują nas tylko dodatnie wartości (bo ciąg ma być rosnący), więc mamy stąd , i
Na pierwszy rzut oka może to wyglądać na poprawne rozwiązanie, ale tak nie jest, bo dla powyższego ciągu mamy ciąg , który nie jest geometryczny.
Pozostał jeszcze do rozpatrzenia drugi przypadek, gdy . Tak jak poprzednio podstawiamy to wyrażenie do drugiego równania układu.
Ponieważ interesują nas tylko dodatnie wartości , mamy i . Wtedy
Odpowiedź: