Zadanie nr 2361357
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny określony dla
, w którym pierwszy wyraz jest liczbą naturalną, a iloczyn pierwszego i trzeciego wyrazu jest równy 1. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest liczbą z przedziału
. Oblicz iloraz tego ciągu.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez pierwszy wyraz ciągu. Wtedy trzeci wyraz jest równy
, więc

To oznacza, że lub
. W pierwszym przypadku suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa

Mamy zatem nierówność

Zauważmy, że druga z powyższych nierówności jest sprzeczna, bo .
W takim razie musi być i suma szeregu jest równa

Mamy zatem nierówność

Ponieważ ,
,
,
, mamy stąd

Jedyną liczbą naturalną spełniającą ten warunek jest . Zatem
.
Odpowiedź: