Zadanie nr 5774571
Nieskończony ciąg geometryczny jest określony dla każdej liczby naturalnej
. Suma wszystkich wyrazów ciągu
o numerach nieparzystych jest równa 16, tj.
![a + a + a + ...= 16. 1 3 5](https://img.zadania.info/zad/5774571/HzadT3x.png)
Ponadto . Wyznacz wzór ogólny na n–ty wyraz ciągu
.
Rozwiązanie
Rozpocznijmy od rozszyfrowania drugiej informacji, bo jak się okaże pozwoli ona łatwo obliczyć iloraz ciągu
.
![a + a = 5-⋅a 1 3 2 2 2 5 2 a1 + a1q = 2-a1q / : ⋅a-- 1 2+ 2q2 = 5q.](https://img.zadania.info/zad/5774571/HzadR2x.png)
Mogliśmy podzielić przez , bo gdyby
, to wtedy wszystkie wyrazy ciągu
byłyby zerami i byłoby to sprzeczne z podaną informacją o sumie wyrazów o nieparzystych indeksach równej 16. Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
![2 2q − 5q + 2 = 0 Δ = 25 − 16 = 9 q = 5−--3-= 1- lub q = 5-+-3-= 2. 4 2 4](https://img.zadania.info/zad/5774571/HzadR6x.png)
Popatrzmy teraz na pierwszą z podanych informacji. Zauważmy, że ciąg
![a1 a = a q2 3 1 a5 = a1q4 6 a7 = a1q ...](https://img.zadania.info/zad/5774571/HzadR7x.png)
jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie i ilorazie
. W szczególności eliminuje to przypadek
, bo wtedy otrzymamy szereg, który nie jest zbieżny. Zatem
oraz
![1 6 = a1 + a3 + a5 + ...= --a1--= --a1--= 4a1- / ⋅ 3 1− q 2 1 − 14 3 4 1 2 = a1.](https://img.zadania.info/zad/5774571/HzadR12x.png)
Stąd
![a = a qn− 1 = 12⋅ --1--= --3--. n 1 2n−1 2n− 3](https://img.zadania.info/zad/5774571/HzadR13x.png)
Odpowiedź: