Zadanie nr 5774571

Nieskończony ciąg geometryczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Suma wszystkich wyrazów ciągu (an ) o numerach nieparzystych jest równa 16, tj.

a + a + a + ...= 16. 1 3 5

Ponadto a + a = 5 ⋅a 1 3 2 2 . Wyznacz wzór ogólny na n–ty wyraz ciągu (an) .

Rozwiązanie

Rozpocznijmy od rozszyfrowania drugiej informacji, bo jak się okaże pozwoli ona łatwo obliczyć iloraz ciągu (an) .

a + a = 5-⋅a 1 3 2 2 2 5 2 a1 + a1q = 2-a1q / : ⋅a-- 1 2+ 2q2 = 5q.

Mogliśmy podzielić przez , bo gdyby a 1 = 0 , to wtedy wszystkie wyrazy ciągu (an ) byłyby zerami i byłoby to sprzeczne z podaną informacją o sumie wyrazów o nieparzystych indeksach równej 16. Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

2 2q − 5q + 2 = 0 Δ = 25 − 16 = 9 q = 5−--3-= 1- lub q = 5-+-3-= 2. 4 2 4

Popatrzmy teraz na pierwszą z podanych informacji. Zauważmy, że ciąg

a1 a = a q2 3 1 a5 = a1q4 6 a7 = a1q ...

jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie i ilorazie q 2 . W szczególności eliminuje to przypadek q = 2 , bo wtedy otrzymamy szereg, który nie jest zbieżny. Zatem 1 q = 2 oraz